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2013 AMC 12A 第 22 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

22.

回文数是一个非负整数，按 1010 进制书写且没有前导零时，从前往后读和从后往前读相同。随机均匀选取一个 66 位回文数 nn，n11\dfrac{n}{11} 也是回文数的概率是多少？

A palindrome is a nonnegative integer number that reads the same forwards and backwards when written in base 1010 with no leading zeros. A 66-digit palindrome nn is chosen uniformly at random. What is the probability that n11\dfrac{n}{11} is also a palindrome?

825\dfrac{8}{25}

33100\dfrac{33}{100}

720\dfrac{7}{20}

925\dfrac{9}{25}

1130\dfrac{11}{30}

答案：E
知识点：回文数基本概率数字
难度评级：2440
小提示：

证明 m=n11m = \dfrac{n}{11} 必须是一个 55 位回文数 abcba‾\overline{abcba}。

Show m=n11m = \dfrac{n}{11} must be a 55-digit palindrome abcba‾\overline{abcba}

大提示：

乘积 11m11m 是回文数当且仅当 a+b≤9a + b \le 9 且 b+c≤9b + c \le 9；计数这些情况

The product 11m11m is a palindrome exactly when a+b≤9a + b \le 9 and b+c≤9;b + c \le 9; count those

解答：

令 m=n11m= \frac{n}{11}。如果 mm 是四位数，那么 n<110000n<110000，所以六位回文数 nn 的首位和末位都必须是 11。这迫使回文数 mm 的首位和末位也都是 11，从而 m<2000m<2000 且 n<22000n<22000，矛盾。因此 mm 是五位回文数 abcba‾\overline{abcba}。

写成 n=11m=abcba0‾+abcba‾n=11m=\overline{abcba0}+\overline{abcba}，恰好在 a+b≤9a+b\le9 且 b+c≤9b+c\le9 时没有进位；所得数字依次为 a,a+b,b+c,b+c,a+b,aa,a+b,b+c,b+c,a+b,a。若 a+b≥10a+b\ge10，首位与末位不同；若只有 b+c≥10b+c\ge10，第二位与倒数第二位不同。所以这些条件也是必要的。有效的 mm 的个数是 ∑b=09(10−b)(9−b)=330。 \sum_{b=0}^{9}(10 - b)(9 - b) = 330\text{。}

六位回文数共有 9⋅102=9009\cdot 10^2 = 900 个，所以概率为 330900=1130\dfrac{330}{900} = \dfrac{11}{30}。

因此，正确答案是 E。

Let m=n11.m= \frac{n}{11}. If mm had four digits, then n<110000,n<110000, so the first and last digits of the six-digit palindrome nn would both be 1.1. This forces the first and last digits of the palindromic mm to be 1,1, hence m<2000m<2000 and n<22000,n<22000, a contradiction. Therefore mm is a five-digit palindrome abcba‾.\overline{abcba}.

Writing n=11m=abcba0‾+abcba‾,n=11m=\overline{abcba0}+\overline{abcba}, no carries occur exactly when a+b≤9a+b\le9 and b+c≤9;b+c\le9; the resulting digits are a,a+b,b+c,b+c,a+b,a.a,a+b,b+c,b+c,a+b,a. If a+b≥10,a+b\ge10, the leading and trailing digits differ; if only b+c≥10,b+c\ge10, the next pair differs. Thus the conditions are also necessary. The number of valid mm is ∑b=09(10−b)(9−b)=330. \sum_{b=0}^{9}(10 - b)(9 - b) = 330.

There are 9⋅102=9009\cdot 10^2 = 900 six-digit palindromes, so the probability is 330900=1130.\dfrac{330}{900} = \dfrac{11}{30}.

Thus, the correct answer is E.

第 21 题#21
完整试卷
第 23 题#23

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