Question

图像 $y = -|x - a| + b$ 和 $y = |x - c| + d$ 相交于点 $(2, 5)$ 和 $(8, 3)$ 。求 $a + c$ 。

The graphs of $y = -|x - a| + b$ and $y = |x - c| + d$ intersect at points $(2, 5)$ and $(8, 3).$ Find $a + c.$

$7$

$8$

$10$

$13$

$18$

答案：C

知识点：绝对值坐标几何中点

难度评级：1740

小提示：

第一个图像在 $(a, b)$ 处取得最高点，第二个图像在 $(c, d)$ 处取得最低点。

The first graph peaks at $(a, b);$ the second bottoms out at $(c, d)$

大提示：

把交点满足的方程改写为 $|x-a|+|x-c|=b-d$ ，再利用对称性。

Rewrite the intersection equation as $|x-a|+|x-c|=b-d$ and use symmetry

解答：

在交点处有 $-|x-a|+b=|x-c|+d$ ，即 $|x-a|+|x-c|=b-d\text{。}$ 因为两个交点彼此分离，它们分别位于以 $a$ 和 $c$ 为端点的区间的两侧。这两个解关于 $x=\tfrac{a+c}{2}$ 对称。它们的 $x$ 坐标为 $2$ 和 $8$ ，所以 $a+c=2+8=10$ 。

所以正确答案是 C。

At an intersection, $-|x-a|+b=|x-c|+d,$ or $|x-a|+|x-c|=b-d.$ Because there are two isolated intersections, they lie on opposite sides of the interval with endpoints $a$ and $c.$ The two solutions are symmetric about $x=\tfrac{a+c}{2}.$ Their $x$ -coordinates are $2$ and $8,$ so $a+c=2+8=10.$

Thus, the correct answer is C.

1999 AMC 12 第 22 题

答案：C

难度评级：1740

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题