Question

平行四边形 $ABCD$ 的面积为 $1{,}000{,}000$ 。顶点 $A$ 在 $(0, 0)$ ，其余顶点都在第一象限。顶点 $B$ 和 $D$ 分别是在直线 $y = x$ 和 $y = kx$ 上的格点，其中 $k \gt 1$ 是整数。这样的平行四边形有多少个？

Parallelogram $ABCD$ has area $1{,}000{,}000.$ Vertex $A$ is at $(0, 0)$ and all other vertices are in the first quadrant. Vertices $B$ and $D$ are lattice points on the lines $y = x$ and $y = kx$ for some integer $k \gt 1,$ respectively. How many such parallelograms are there?

$49$

$720$

$784$

$2009$

$2048$

答案：C

知识点：格点隔板法质因数分解

难度评级：2340

小提示：

设 $B = (b, b)$ 、 $D = (d, kd)$ ，平行四边形面积为 $(k - 1)bd$ 。

With $B = (b, b)$ and $D = (d, kd),$ the area of the parallelogram is $(k - 1)bd$

大提示：

需要 $(k - 1)bd = 10^6 = 2^6 \cdot 5^6$ ；数出分成三个正整数的有序因式分解数。

You need $(k - 1)bd = 10^6 = 2^6 \cdot 5^6$ ; count ordered factorizations into three positive integers

解答：

设 $B = (b, b)$ 、 $D = (d, kd)$ ，其中 $b, d, k$ 为正整数且 $k \gt 1$ 。面积条件给出 $(k - 1)bd = 1{,}000{,}000 = 2^6 \cdot 5^6$ 。

每个平行四边形对应一个正整数有序三元组 $(k - 1, b, d)$ ，其乘积为 $2^6 \cdot 5^6$ 。六个因子 $2$ 在三个位置中的分配数为 $\binom{6 + 2}{2} = 28$ ，因子 $5$ 也有 $28$ 种分配，所以共有 $28^2 = 784$ 个。

所以正确答案是 C。

Let $B = (b, b)$ and $D = (d, kd)$ with $b, d, k$ positive integers and $k \gt 1.$ The area is $(k - 1)bd = 1{,}000{,}000 = 2^6 \cdot 5^6.$

Each parallelogram corresponds to an ordered triple $(k - 1, b, d)$ of positive integers with product $2^6 \cdot 5^6.$ The six $2$ ’s distribute among the three factors in $\binom{6 + 2}{2} = 28$ ways, and likewise the six $5$ ’s in $28$ ways, giving $28^2 = 784.$

Thus, the correct answer is C.

2009 AMC 12B 第 22 题

答案：C

难度评级：2340

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题