Question

求满足下列方程的整数对 $(m,n)$ 的个数： $\begin{aligned} m^3+6m^2+5m &=27n^3+9n^2\\ &\quad+9n+1 \end{aligned}\text{。}$

Find the number of pairs $(m,n)$ of integers which satisfy the equation $\begin{aligned} m^3+6m^2+5m &=27n^3+9n^2\\ &\quad+9n+1. \end{aligned}$

$0$

$1$

$3$

$9$

无穷多个

infinitely many

答案：A

知识点：整除性模运算因式分解

难度评级：1860

小提示：

把左边因式分解为 $m(m+1)(m+5)$

Factor the left side as $m(m+1)(m+5)$

大提示：

比较等式两边模 $3$ 的余数

Compare the two sides modulo $3$

解答：

左边等于 $\begin{gathered} m(m+1)(m+5)\\ =m(m+1)(m+2)\\ \quad+3m(m+1) \end{gathered}\text{，}$ 对每个整数 $m$ 都能被 $3$ 整除。右边为 $3(9n^3+3n^2+3n)+1$ ，与 $1\pmod3$ 同余。因此不存在满足方程的整数对。

因此，正确答案是 A。

The left side is $\begin{gathered} m(m+1)(m+5)\\ =m(m+1)(m+2)\\ \quad+3m(m+1), \end{gathered}$ which is divisible by $3$ for every integer $m.$ The right side is $3(9n^3+3n^2+3n)+1,$ which is congruent to $1\pmod3.$ Therefore no integer pair satisfies the equation.

Therefore, the correct answer is A.

1979 AMC 12 第 22 题

答案：A

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题