Question

若 $a_2\ne0$ ，且 $r$ 、 $s$ 是 $a_0+a_1x+a_2x^2=0$ 的两根，则等式

$\begin{aligned} a_0+a_1x+a_2x^2 &=a_0\left(1-\frac xr\right)\\ &\quad\cdot\left(1-\frac xs\right) \end{aligned}$

成立的条件是：

If $a_2\ne0$ and $r,$ $s$ are the roots of $a_0+a_1x+a_2x^2=0,$ then the equality

$\begin{aligned} a_0+a_1x+a_2x^2 &=a_0\left(1-\frac xr\right)\\ &\quad\cdot\left(1-\frac xs\right) \end{aligned}$

holds:

当 $a_0\ne0$ 时，对所有 $x$ ，均成立

for all values of $x,$ $a_0\ne0$

对所有 $x$ 均成立

for all values of $x$

仅当 $x=0$ 时成立

only when $x=0$

仅当 $x=r$ 或 $x=s$ 时成立

only when $x=r$ or $x=s$

当 $a_0\ne0$ 时，仅在 $x=r$ 或 $x=s$ 时成立

only when $x=r$ or $x=s,$ $a_0\ne0$

答案：A

知识点：二次方程韦达定理因式分解

难度评级：2000

小提示：

右边要求两根都不为零

The right side requires both roots to be nonzero

大提示：

利用 $rs=\frac{a_0}{a_2}$ 比较首项系数

Use $rs=\frac{a_0}{a_2}$ to compare the leading coefficients

解答：

若 $a_0\ne0$ ，则 $rs=\frac{a_0}{a_2}\ne0$ ，并且 $\begin{gathered} a_0\left(1-\frac xr\right) \left(1-\frac xs\right)\\ =\frac{a_0}{rs}(x-r)(x-s)\\ =a_2(x-r)(x-s) \end{gathered}$ 对每个 $x$ 都等于原多项式。若 $a_0=0$ ，则右边至少有一个分母为零。

因此，正确答案是 A。

If $a_0\ne0,$ then $rs=\frac{a_0}{a_2}\ne0$ and $\begin{gathered} a_0\left(1-\frac xr\right) \left(1-\frac xs\right)\\ =\frac{a_0}{rs}(x-r)(x-s)\\ =a_2(x-r)(x-s), \end{gathered}$ which is the original polynomial for every $x.$ If $a_0=0,$ at least one denominator on the right is zero.

Therefore, the correct answer is A.

1965 AMC 12 第 22 题

答案：A

难度评级：2000

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题