Question

若前 $3n$ 个正整数之和比前 $n$ 个正整数之和多 $150$ ，则前 $4n$ 个正整数之和为：

If the sum of the first $3n$ positive integers is $150$ more than the sum of the first $n$ positive integers, then the sum of the first $4n$ positive integers is:

$300$

$350$

$400$

$450$

$600$

答案：A

知识点：三角形数二次方程求和

难度评级：1590

小提示：

利用 $1+2+\cdots+m=\frac{m(m+1)}{2}$

Use $1+2+\cdots+m=\frac{m(m+1)}{2}$

大提示：

题目所给的差化简为 $4n^2+n$

The given difference simplifies to $4n^2+n$

解答：

设 $S_m=\frac{m(m+1)}{2}$ 。则 $\begin{aligned} 2(S_{3n}-S_n) &=3n(3n+1)\\ &\quad{}-n(n+1)\\ &=8n^2+2n \end{aligned}\text{。}$ 由于 $S_{3n}-S_n=150$ ，可得 $4n^2+n=150$ 。因此 $(n-6)(4n+25)=0$ ，其正数解为 $n=6$ 。所以 $S_{4n}=S_{24}=\frac{24\cdot25}{2}=300\text{。}$

因此，正确答案是 A。

Let $S_m=\frac{m(m+1)}{2}.$ Then $\begin{aligned} 2(S_{3n}-S_n) &=3n(3n+1)\\ &\quad{}-n(n+1)\\ &=8n^2+2n. \end{aligned}$ Since $S_{3n}-S_n=150,$ this gives $4n^2+n=150.$ Hence $(n-6)(4n+25)=0,$ and the positive solution is $n=6.$ Therefore $S_{4n}=S_{24}=\frac{24\cdot25}{2}=300.$

Therefore, the correct answer is A.

1970 AMC 12 第 22 题

答案：A

难度评级：1590

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题