Question

设 $ABCD$ 是菱形，且 $AC = 16$ ， $BD = 30$ 。设 $N$ 是 $\overline{AB}$ 上一点， $P$ 和 $Q$ 分别是从 $N$ 到 $\overline{AC}$ 和 $\overline{BD}$ 的垂足。下列哪一项最接近 $PQ$ 的最小可能值？

Let $ABCD$ be a rhombus with $AC = 16$ and $BD = 30.$ Let $N$ be a point on $\overline{AB},$ and let $P$ and $Q$ be the feet of the perpendiculars from $N$ to $\overline{AC}$ and $\overline{BD},$ respectively. Which of the following is closest to the minimum possible value of $PQ?$

$6.5$

$6.75$

$7$

$7.25$

$7.5$

答案：C

知识点：菱形高线最优化

难度评级：2020

小提示：

设 $O$ 为中心；菱形对角线垂直，所以 $OPNQ$ 是长方形，且 $PQ = ON$

Let $O$ be the center; the diagonals meet at right angles, so $OPNQ$ is a rectangle and $PQ = ON$

大提示：

当 $N$ 是直角三角形 $AOB$ 中从 $O$ 向斜边作的垂足时， $ON$ 最小，其中两条直角边为 $8$ 和 $15$

$ON$ is smallest when $N$ is the foot of the altitude from $O$ in right triangle $AOB$ with legs $8$ and $15$

解答：

设 $O$ 为两条对角线的交点。则 $\triangle AOB$ 在 $O$ 处为直角，且 $OA = 8$ ， $OB = 15$ 。四边形 $OPNQ$ 在 $O$ ， $P$ ， $Q$ 处均为直角，所以它是长方形，且 $PQ = ON$ 。

$ON$ 的最小值是在 $\triangle AOB$ 中从 $O$ 到 $\overline{AB}$ 的高。因为 $AB = \sqrt{8^2 + 15^2} = 17$ ，由两种面积表达式相等，得 $\begin{aligned} ON &= \frac{OA \cdot OB}{AB} \\ &= \frac{8 \cdot 15}{17} \\ &= \frac{120}{17} \approx 7.06 \end{aligned}\text{。}$

这最接近 $7$ 。

因此，正确答案是 C。

Let $O$ be the intersection of the diagonals. Then $\triangle AOB$ is right-angled at $O$ with legs $OA = 8$ and $OB = 15.$ Quadrilateral $OPNQ$ has right angles at $O,$ $P,$ and $Q,$ so it is a rectangle and $PQ = ON.$

The minimum of $ON$ is the altitude from $O$ to $\overline{AB}$ in $\triangle AOB.$ Since $AB = \sqrt{8^2 + 15^2} = 17,$ equating the two area expressions gives $\begin{aligned} ON &= \frac{OA \cdot OB}{AB} \\ &= \frac{8 \cdot 15}{17} \\ &= \frac{120}{17} \approx 7.06. \end{aligned}$

This is closest to $7.$

Thus, the correct answer is C.

2003 AMC 12B 第 22 题

答案：C

难度评级：2020

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题