Question

函数 $y = \sin(\frac{1}{x})$ 的图像在区间 $(0.0001, 0.001)$ 中的 $x$ 轴截距个数最接近

The number of $x$ -intercepts on the graph of $y = \sin(\frac{1}{x})$ in the interval $(0.0001, 0.001)$ is closest to

$2900$

$3000$

$3100$

$3200$

$3300$

答案：A

知识点：区间内整数计数取整函数三角学

难度评级：1950

小提示：

$\sin(\frac{1}{x}) = 0$ 当且仅当 $\frac{1}{x} = k\pi$ ，其中 $k$ 为非零整数，也就是 $x = \dfrac{1}{k\pi}$

$\sin(\frac{1}{x}) = 0$ when $\frac{1}{x} = k\pi$ for a nonzero integer $k,$ i.e. $x = \dfrac{1}{k\pi}$

大提示：

数满足 $\dfrac{1000}{\pi} \lt k \lt \dfrac{10000}{\pi}$ 的整数 $k$

Count integers $k$ with $\dfrac{1000}{\pi} \lt k \lt \dfrac{10000}{\pi}$

解答：

截距出现在 $\frac{1}{x} = k\pi$ 时，也就是 $x = \dfrac{1}{k\pi}$ ，其中 $k$ 为非零整数。

条件 $0.0001 \lt \dfrac{1}{k\pi} \lt 0.001$ 化为 $\frac{1000}{\pi} \lt k \lt \frac{10000}{\pi}\text{。}$

这样的整数个数为 $\begin{aligned} &\left\lfloor \frac{10000}{\pi} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{1000}{\pi} \right\rfloor \\ &= 3183 - 318 = 2865\text{，} \end{aligned}$ 最接近 $2900$ 。

因此，正确答案是 A。

The intercepts occur where $\frac{1}{x} = k\pi,$ that is $x = \dfrac{1}{k\pi}$ for a nonzero integer $k.$

The condition $0.0001 \lt \dfrac{1}{k\pi} \lt 0.001$ becomes $\frac{1000}{\pi} \lt k \lt \frac{10000}{\pi}.$

The number of such integers is $\begin{aligned} &\left\lfloor \frac{10000}{\pi} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{1000}{\pi} \right\rfloor \\ &= 3183 - 318 = 2865, \end{aligned}$ closest to $2900.$

Thus, the correct answer is A.

2003 AMC 12B 第 23 题

答案：A

难度评级：1950

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题