Question

乘积 $1! \cdot 2! \cdot 3! \cdots 9!\,$ 的因数中，有多少个是完全平方数？

How many perfect squares are divisors of the product $1! \cdot 2! \cdot 3! \cdots 9!\,?$

$504$

$672$

$864$

$936$

$1008$

合并这些阶乘得到 $2^{30}\cdot3^{13}\cdot5^{5}\cdot7^{3}$ 。

Combine the factorials into $2^{30}\cdot3^{13}\cdot5^{5}\cdot7^{3}$

平方因数中每个质数的指数都必须是偶数。

A square divisor uses an even exponent of each prime

该乘积为 $1! \cdot 2! \cdots 9! = 2^{30}\cdot3^{13}\cdot5^{5}\cdot7^{3}\text{。}$

一个平方因数形如 $2^{2a}3^{2b}5^{2c}7^{2d}$ ，其中 $0\le a\le15$ ， $0\le b\le6$ ， $0\le c\le2$ ，且 $0\le d\le1$ 。

选择数为 $16\cdot7\cdot3\cdot2=672$ 。

所以正确答案是 B。

The product is $1! \cdot 2! \cdots 9! = 2^{30}\cdot3^{13}\cdot5^{5}\cdot7^{3}.$

A perfect-square divisor has the form $2^{2a}3^{2b}5^{2c}7^{2d}$ with $0\le a\le15,$ $0\le b\le6,$ $0\le c\le2,$ and $0\le d\le1.$

The number of choices is $16\cdot7\cdot3\cdot2=672.$

Thus, the correct answer is B.