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2011 AMC 12A 第 23 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

23.

令 f(z)=z+az+bf(z) = \dfrac{z + a}{z + b}，且 g(z)=f(f(z))g(z) = f(f(z))，其中 aa 和 bb 是复数。假设 ∣a∣=1|a| = 1，并且对所有使 g(g(z))g(g(z)) 有定义的 zz，都有 g(g(z))=zg(g(z)) = z。∣b∣|b| 的最大可能值与最小可能值之差是多少？

Let f(z)=z+az+bf(z) = \dfrac{z + a}{z + b} and g(z)=f(f(z)),g(z) = f(f(z)), where aa and bb are complex numbers. Suppose that ∣a∣=1|a| = 1 and g(g(z))=zg(g(z)) = z for all zz for which g(g(z))g(g(z)) is defined. What is the difference between the largest and smallest possible values of ∣b∣?|b|?

00

2−1\sqrt{2} - 1

3−1\sqrt{3} - 1

11

22

答案：C
知识点：复数矩阵单位根
难度评级：2560
小提示：

用矩阵 (1a1b)\begin{pmatrix} 1 & a \\ 1 & b \end{pmatrix} 表示 ff；则 g(g(z))=zg(g(z)) = z 意味着 f4f^4 是恒等变换

Represent ff by the matrix (1a1b);\begin{pmatrix} 1 & a \\ 1 & b \end{pmatrix}; then g(g(z))=zg(g(z)) = z means f4f^4 is the identity

大提示：

阶为 44 的情形迫使 (tr⁡)2=2det⁡(\operatorname{tr})^2 = 2\det，从而得到 b2=−(1+2a)b^2 = -(1 + 2a)

The order-44 case forces (tr⁡)2=2det⁡,(\operatorname{tr})^2 = 2\det, which gives b2=−(1+2a)b^2 = -(1 + 2a)

解答：

直接复合可得 g(z)=Az+BCz+D， g(z)=\dfrac{Az+B}{Cz+D}\text{，}其中 A=1+aA=1+a，B=a(1+b)B=a(1+b)，C=1+bC=1+b，且 D=a+b2D=a+b^2。

矩阵 (ABCD)\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix} 表示变换 gg。要使 g∘gg\circ g 为恒等变换，它的平方必须是标量矩阵。比较非对角元和两个对角元，得到两种可能：或者 B=C=0B=C=0 且 A=DA=D，或者 A+D=0A+D=0。第一种给出 b=−1b=-1（其中 a≠−1a\ne-1）；第二种给出 b2=−(1+2a)。 b^2=-(1+2a)\text{。}

在第二种情形中，∣b∣2=∣1+2a∣|b|^2=|1+2a|。当 aa 绕单位圆变化时，∣1+2a∣|1+2a| 的取值从 11 到 33，所以 1≤∣b∣≤31\le|b|\le\sqrt3。两个端点都能取得：分别取 (a,b)=(−1,1)(a,b)=(-1,1) 和 (a,b)=(1,i3)(a,b)=(1,i\sqrt3)。单独的情形 b=−1b=-1 也满足 ∣b∣=1|b|=1。因此所求差为 3−1\sqrt3-1。

因此，正确答案是 C。

Direct composition gives g(z)=Az+BCz+D, g(z)=\dfrac{Az+B}{Cz+D}, where A=1+a,A=1+a, B=a(1+b),B=a(1+b), C=1+b,C=1+b, and D=a+b2.D=a+b^2.

The matrix (ABCD)\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix} represents g.g. For g∘gg\circ g to be the identity, its square must be scalar. Comparing the off-diagonal entries and the two diagonal entries gives two possibilities: either B=C=0B=C=0 and A=D,A=D, or A+D=0.A+D=0. The first gives b=−1b=-1 (with a≠−1a\ne-1); the second gives b2=−(1+2a). b^2=-(1+2a).

In the second case, ∣b∣2=∣1+2a∣.|b|^2=|1+2a|. As aa runs around the unit circle, ∣1+2a∣|1+2a| ranges from 11 to 3,3, so 1≤∣b∣≤3.1\le|b|\le\sqrt3. Both endpoints occur: take (a,b)=(−1,1)(a,b)=(-1,1) and (a,b)=(1,i3).(a,b)=(1,i\sqrt3). The separate case b=−1b=-1 also has ∣b∣=1.|b|=1. Therefore the requested difference is 3−1.\sqrt3-1.

Thus, the correct answer is C.

第 22 题#22
完整试卷
第 24 题#24

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