Question

若方程 $x^2+px+q=0$ 的两个解分别是方程 $x^2+mx+n=0$ 的两个解的立方，则

If the solutions of the equation $x^2+px+q=0$ are the cubes of the solutions of the equation $x^2+mx+n=0,$ then

$p=m^3+3mn$

$p=m^3-3mn$

$p+q=m^3$

$\left(\frac mn\right)^3=\frac pq$

以上均不正确

none of these

答案：B

知识点：韦达定理立方和与立方差二次方程

难度评级：2040

小提示：

设第二个方程的两个根为 $u$ 和 $v$ ，并应用韦达定理

Call the roots of the second equation $u$ and $v$ and apply Vieta’s formulas

大提示：

利用 $u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)$

Use $u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)$

解答：

设 $x^2+mx+n$ 的两个根为 $u$ 、 $v$ 。于是 $u+v=-m$ ，且 $uv=n$ ，而第一个方程的两个根为 $u^3$ 、 $v^3$ 。因此 $\begin{aligned} -p&=u^3+v^3\\ &=(u+v)^3-3uv(u+v)\\ &=-m^3+3mn \end{aligned}\text{。}$ 所以 $p=m^3-3mn$ 。

因此，正确答案是 B。

Let the roots of $x^2+mx+n$ be $u,$ $v.$ Then $u+v=-m$ and $uv=n,$ while the roots of the first equation are $u^3,$ $v^3.$ Thus $\begin{aligned} -p&=u^3+v^3\\ &=(u+v)^3-3uv(u+v)\\ &=-m^3+3mn. \end{aligned}$ Therefore $p=m^3-3mn.$

Therefore, the correct answer is B.

1977 AMC 12 第 23 题

答案：B

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题