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2024 AMC 12B 第 23 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

23.

一个直棱锥的底面是边长为 11 的正八边形 ABCDEFGHABCDEFGH，顶点为 VV。线段 AV‾\overline{AV} 与 DV‾\overline{DV} 垂直。该棱锥高度的平方是多少？

A right pyramid has regular octagon ABCDEFGHABCDEFGH with side length 11 as its base and apex V.V. Segments AV‾\overline{AV} and DV‾\overline{DV} are perpendicular. What is the square of the height of the pyramid?

11

1+22\dfrac{1 + \sqrt2}{2}

2\sqrt2

32\dfrac{3}{2}

2+23\dfrac{2 + \sqrt2}{3}

答案：B
知识点：棱锥正多边形立体几何
难度评级：2300
小提示：

每条侧棱长为 LL，满足 L2=h2+R2L^2 = h^2 + R^2，其中 RR 是八边形外接圆半径；直角在 VV 处给出 AD2=2L2AD^2 = 2L^2。

Each lateral edge has length LL with L2=h2+R2,L^2 = h^2 + R^2, where RR is the octagon’s circumradius; the right angle at VV gives AD2=2L2AD^2 = 2L^2

大提示：

AA 与 DD 相隔三个顶点，圆心角为 135∘135^\circ，且 AD2=R2(2+2)AD^2 = R^2(2 + \sqrt2)；又 R2=2+22R^2 = \dfrac{2 + \sqrt2}{2}。解出 h2h^2。

AA and DD are three vertices apart, so the central angle is 135∘135^\circ and AD2=R2(2+2);AD^2 = R^2(2 + \sqrt2); also R2=2+22.R^2 = \dfrac{2 + \sqrt2}{2}. Solve for h2h^2

解答：

令 RR 为正八边形外接圆半径，LL 为每条侧棱长，则 L2=h2+R2L^2 = h^2 + R^2。由于 ∠AVD=90∘\angle AVD = 90^\circ，有 AD2=2L2AD^2 = 2L^2。

顶点 AA 与 DD 相隔三步，圆心角为 135∘135^\circ，所以 AD2AD^2 =2R2(1−cos⁡135∘)= 2R^2(1 - \cos 135^\circ) =R2(2+2)= R^2(2 + \sqrt2)。结合上式得 R2(2+2)=2(h2+R2)R^2(2 + \sqrt2) = 2(h^2 + R^2)，即 2h2=R222h^2 = R^2\sqrt2。

边长为 11 的正八边形满足 R2=12sin⁡2(22.5∘)=2+22R^2 = \dfrac{1}{2\sin^2(22.5^\circ)} = \dfrac{2 + \sqrt2}{2}。因此 h2h^2 =R222= \dfrac{R^2\sqrt2}{2} =(2+2)24= \dfrac{(2 + \sqrt2)\sqrt2}{4} =22+24= \dfrac{2\sqrt2 + 2}{4} =1+22= \dfrac{1 + \sqrt2}{2}。

所以正确答案是 B。

Let RR be the circumradius of the octagon and LL the length of each lateral edge, so L2=h2+R2.L^2 = h^2 + R^2. Since ∠AVD=90∘,\angle AVD = 90^\circ, AD2=2L2.AD^2 = 2L^2.

Vertices AA and DD are three steps apart, a central angle of 135∘,135^\circ, so AD2AD^2 =2R2(1−cos⁡135∘)= 2R^2(1 - \cos 135^\circ) =R2(2+2).= R^2(2 + \sqrt2). Setting R2(2+2)=2(h2+R2)R^2(2 + \sqrt2) = 2(h^2 + R^2) gives 2h2=R22.2h^2 = R^2\sqrt2.

For a regular octagon of side 1,1, R2=12sin⁡2(22.5∘)=2+22.R^2 = \dfrac{1}{2\sin^2(22.5^\circ)} = \dfrac{2 + \sqrt2}{2}. Therefore h2h^2 =R222= \dfrac{R^2\sqrt2}{2} =(2+2)24= \dfrac{(2 + \sqrt2)\sqrt2}{4} =22+24= \dfrac{2\sqrt2 + 2}{4} =1+22.= \dfrac{1 + \sqrt2}{2}.

Thus, the correct answer is B.

第 22 题#22
完整试卷
第 24 题#24

其他年份的第 23 题

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