Question

有多少个正实数有序对 $(a,b)$ 满足方程 $\begin{gathered} (1+2a)(2+2b)(2a+b)\\ {}=32ab \end{gathered}\text{？}$

How many ordered pairs of positive real numbers $(a,b)$ satisfy the equation $\begin{gathered} (1+2a)(2+2b)(2a+b)\\ {}=32ab? \end{gathered}$

$0$

$1$

$2$

$3$

无穷多个

an infinite number

答案：B

知识点：算术-几何平均不等式

难度评级：2380

小提示：

分别对 $1+2a$ 、 $2+2b$ 和 $2a+b$ 使用 AM-GM

Apply AM-GM separately to $1+2a,$ $2+2b,$ and $2a+b$

大提示：

乘积至少为 $32ab$ ，所以等号必须在三个不等式中同时成立

The product is at least $32ab,$ so equality must hold in all three inequalities at once

解答：

由 AM-GM， $1+2a\ge 2\sqrt{2a}$ ， $2+2b\ge 4\sqrt{b}$ ，且 $2a+b\ge 2\sqrt{2ab}$ 。相乘得 $\begin{gathered} (1+2a)(2+2b)(2a+b)\\ {}\ge 16\sqrt{2a}\cdot\sqrt{b}\cdot\sqrt{2ab}\\ {}=32ab \end{gathered}\text{。}$

等号要求 $1=2a$ 、 $2=2b$ 和 $2a=b$ 同时成立。这给出 $a=\tfrac12$ 、 $b=1$ ，且三者相容，所以恰有一个解。

所以正确答案是 B。

By AM-GM, $1+2a\ge 2\sqrt{2a},$ $2+2b\ge 4\sqrt{b},$ and $2a+b\ge 2\sqrt{2ab}.$ Multiplying, $\begin{gathered} (1+2a)(2+2b)(2a+b)\\ {}\ge 16\sqrt{2a}\cdot\sqrt{b}\cdot\sqrt{2ab}\\ {}=32ab. \end{gathered}$

Equality requires $1=2a,$ $2=2b,$ and $2a=b$ simultaneously. These give $a=\tfrac12,$ $b=1,$ which are consistent, so there is exactly one solution.

Thus, the correct answer is B.

2023 AMC 12A 第 23 题

答案：B

难度评级：2380

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题