Question

等边三角形 $ABE$ 的顶点 $E$ 位于正方形 $ABCD$ 内部， $F$ 是对角线 $BD$ 与线段 $AE$ 的交点。若 $AB$ 的长度为 $\sqrt{1+\sqrt3}$ ，则 $\triangle ABF$ 的面积为

Vertex $E$ of equilateral triangle $ABE$ is in the interior of square $ABCD,$ and $F$ is the point of intersection of diagonal $BD$ and line segment $AE.$ If length $AB$ is $\sqrt{1+\sqrt3},$ then the area of $\triangle ABF$ is

$1$

$\frac{\sqrt2}{2}$

$\frac{\sqrt3}{2}$

$4-2\sqrt3$

$\frac12+\frac{\sqrt3}{4}$

答案：C

知识点：坐标几何等边三角形面积

难度评级：2040

小提示：

取 $A=(0,0)$ 、 $B=(s,0)$ ，其中 $s=AB$

Place $A=(0,0)$ and $B=(s,0),$ where $s=AB$

大提示：

求直线 $AE:\ y=\sqrt3x$ 与 $BD:\ y=s-x$ 的交点

Find the intersection of $AE:\ y=\sqrt3x$ and $BD:\ y=s-x$

解答：

令 $A=(0,0)$ 、 $B=(s,0)$ 、 $D=(0,s)$ ，其中 $s=\sqrt{1+\sqrt3}$ 。经过 $F$ 的两条直线的方程为 $\begin{aligned} AE:\quad y&=\sqrt3x,\\ BD:\quad y&=s-x\text{。} \end{aligned}$ 因此 $F$ 到 $AB$ 的高为 $\frac{s\sqrt3}{1+\sqrt3}$ 。于是 $[\triangle ABF] =\frac{s^2\sqrt3}{2(1+\sqrt3)} =\frac{\sqrt3}{2}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

Let $A=(0,0),$ $B=(s,0),$ and $D=(0,s),$ where $s=\sqrt{1+\sqrt3}.$ The two lines containing $F$ have equations $\begin{aligned} AE:\quad y&=\sqrt3x,\\ BD:\quad y&=s-x. \end{aligned}$ Hence the altitude of $F$ above $AB$ is $\frac{s\sqrt3}{1+\sqrt3}.$ Therefore $[\triangle ABF] =\frac{s^2\sqrt3}{2(1+\sqrt3)} =\frac{\sqrt3}{2}.$

Therefore, the correct answer is C.

1978 AMC 12 第 23 题

答案：C

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

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