Question

从一个直角三角形中斜边所对的顶点，向斜边的两个三等分点各作一条线段。两条线段的长度分别为 $\sin x$ 和 $\cos x$ ，其中 $x$ 是满足 $0\lt x\lt\frac\pi2$ 的实数。斜边的长度为

Line segments drawn from the vertex opposite the hypotenuse of a right triangle to the points trisecting the hypotenuse have lengths $\sin x$ and $\cos x,$ where $x$ is a real number such that $0\lt x\lt\frac\pi2.$ The length of the hypotenuse is

$\frac43$

$\frac32$

$\frac{3\sqrt5}{5}$

$\frac{2\sqrt5}{3}$

由所给信息不能唯一确定

not uniquely determined by the given information

答案：C

知识点：直角三角形坐标几何勾股定理

难度评级：2100

小提示：

把斜边放在 $x$ 轴上，并为直角顶点设坐标

Put the hypotenuse on the $x$ -axis and assign coordinates to the right-angle vertex

大提示：

把从直角顶点到两个三等分点的线段长度的平方相加，使未知的水平位置消去

Add the squares of the two trisector-segment lengths so the unknown horizontal position cancels

解答：

设斜边端点为 $(0,0)$ 和 $(h,0)$ ，直角顶点为 $(u,v)$ 。直角条件给出 $u^2+v^2=hu$ 。到 $(\frac{h}{3},0)$ 与 $(\frac{2h}{3},0)$ 的距离平方之和为 $\begin{aligned} &(u-\frac{h}{3})^2+v^2\\ &\quad+(u-\frac{2h}{3})^2+v^2 =\frac{5h^2}{9} \end{aligned}\text{。}$ 另一方面，这个和也等于 $\sin^2x+\cos^2x=1$ 。因此 $h=\frac{3}{\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{5}$ 。

因此，正确答案是 C。

Let the hypotenuse have endpoints $(0,0)$ and $(h,0),$ and let the right-angle vertex be $(u,v).$ The right-angle condition gives $u^2+v^2=hu.$ The squared distances to $(\frac{h}{3},0)$ and $(\frac{2h}{3},0)$ sum to $\begin{aligned} &(u-\frac{h}{3})^2+v^2\\ &\quad+(u-\frac{2h}{3})^2+v^2 =\frac{5h^2}{9}. \end{aligned}$ This also equals $\sin^2x+\cos^2x=1.$ Hence $h=\frac{3}{\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{5}.$

Therefore, the correct answer is C.

1980 AMC 12 第 23 题

答案：C

难度评级：2100

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题