Question

Ajay 站在印度尼西亚 Pontianak 附近的点 $A$ ，纬度 $0^\circ$ ，经度 $110^\circ$ E。Billy 站在美国爱达荷州 Big Baldy Mountain 附近的点 $B$ ，纬度 $45^\circ$ N，经度 $115^\circ$ W。假设地球是以 $C$ 为球心的完美球体。 $\angle ACB$ 的度数是多少？

Ajay is standing at point $A$ near Pontianak, Indonesia, $0^\circ$ latitude and $110^\circ$ E longitude. Billy is standing at point $B$ near Big Baldy Mountain, Idaho, USA, $45^\circ$ N latitude and $115^\circ$ W longitude. Assume that Earth is a perfect sphere with center $C.$ What is the degree measure of $\angle ACB?$

$105$

$112\tfrac{1}{2}$

$120$

$135$

$150$

答案：C

知识点：立体几何球向量

难度评级：2400

小提示：

经度差为 $360^\circ-(110^\circ+115^\circ)=135^\circ$ 。

The longitude difference is $360^\circ-(110^\circ+115^\circ)=135^\circ$

大提示：

把两个点放在单位球面上，并计算它们位置向量的点积。

Put both points on a unit sphere and take the dot product of their position vectors

解答：

两地经度差为 $360^\circ-(110^\circ+115^\circ)=135^\circ$ ，且 $B$ 位于北纬 $45^\circ$ 。把 $A=(1,0,0)$ 放在单位球面上。

于是 $B=\tiny\left(\cos45^\circ\cos135^\circ,\ \cos45^\circ\sin135^\circ,\ \sin45^\circ\right)$ $=\left(-\tfrac12,\tfrac12,\tfrac{\sqrt2}{2}\right)$ 。点积为 $A\cdot B=-\tfrac12$ ，所以 $\cos\angle ACB=-\tfrac12$ ，从而 $\angle ACB=120^\circ$ 。

所以正确答案是 C。

The longitudes differ by $360^\circ-(110^\circ+115^\circ)=135^\circ,$ and $B$ is at latitude $45^\circ$ N. Place $A=(1,0,0)$ on the unit sphere.

Then $B=\tiny\left(\cos45^\circ\cos135^\circ,\ \cos45^\circ\sin135^\circ,\ \sin45^\circ\right)$ $=\left(-\tfrac12,\tfrac12,\tfrac{\sqrt2}{2}\right).$ The dot product is $A\cdot B=-\tfrac12,$ so $\cos\angle ACB=-\tfrac12$ and $\angle ACB=120^\circ.$

Thus, the correct answer is C.

2018 AMC 12B 第 23 题

答案：C

难度评级：2400

小提示：

大提示：

解答：

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