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2018 AMC 12B 第 24 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

24.

令 ⌊x⌋\lfloor x\rfloor 表示小于或等于 xx 的最大整数。有多少个实数 xx 满足方程 x2+10,000⌊x⌋=10,000xx^2+10{,}000\lfloor x\rfloor=10{,}000x？

Let ⌊x⌋\lfloor x\rfloor denote the greatest integer less than or equal to x.x. How many real numbers xx satisfy the equation x2+10,000⌊x⌋=10,000x?x^2+10{,}000\lfloor x\rfloor=10{,}000x?

197197

198198

199199

200200

201201

答案：C
知识点：取整函数交点计数
难度评级：2500
小提示：

将方程改写为 x2=10,000 (x−⌊x⌋)x^2=10{,}000\,(x-\lfloor x\rfloor) =10,000{x}=10{,}000\{x\}。

Rewrite the equation as x2=10,000 (x−⌊x⌋)x^2=10{,}000\,(x-\lfloor x\rfloor) =10,000{x}=10{,}000\{x\}

大提示：

因此 0≤x210,000<10\le\dfrac{x^2}{10{,}000}\lt1，所以 −100<x<100-100\lt x\lt100；每个单位区间内数一个解。

Then 0≤x210,000<1,0\le\dfrac{x^2}{10{,}000}\lt1, so −100<x<100;-100\lt x\lt100; count one solution per unit interval

解答：

令 {x}=x−⌊x⌋\{x\}=x-\lfloor x\rfloor。方程化为 x2=10,000{x}x^2=10{,}000\{x\}，所以 x210,000={x}\tfrac{x^2}{10{,}000}=\{x\}。因为 0≤{x}<10\le\{x\}\lt1，必须有 0≤x2<10,0000\le x^2\lt10{,}000，即 −100<x<100-100\lt x\lt100。

在每个区间 [k,k+1)[k,k+1) 上，写成 x=k+tx=k+t，其中 0≤t<10\le t\lt1。方程变为 (k+t)2−10,000t=0(k+t)^2-10{,}000t=0。当 −100≤k≤98-100\le k\le98 时，左边严格递减：在 t=0t=0 处它等于 k2≥0k^2\ge0，而当 tt 趋于 11 时它趋于 (k+1)2−10,000<0(k+1)^2-10{,}000\lt0。因此这些区间中每一个都恰好含有一个解。这样的区间共有 98−(−100)+1=19998-(-100)+1=199 个。

所以正确答案是 C。

Let {x}=x−⌊x⌋.\{x\}=x-\lfloor x\rfloor. The equation becomes x2=10,000{x},x^2=10{,}000\{x\}, so x210,000={x}.\tfrac{x^2}{10{,}000}=\{x\}. Since 0≤{x}<1,0\le\{x\}\lt1, we need 0≤x2<10,000,0\le x^2\lt10{,}000, i.e. −100<x<100.-100\lt x\lt100.

On each interval [k,k+1),[k,k+1), write x=k+tx=k+t with 0≤t<1.0\le t\lt1. The equation becomes (k+t)2−10,000t=0.(k+t)^2-10{,}000t=0. For −100≤k≤98,-100\le k\le98, the left side is strictly decreasing; at t=0t=0 it is k2≥0,k^2\ge0, while as tt approaches 11 it approaches (k+1)2−10,000<0.(k+1)^2-10{,}000\lt0. Thus each of these intervals contains exactly one solution. There are 98−(−100)+1=19998-(-100)+1=199 such intervals.

Thus, the correct answer is C.

第 23 题#23
完整试卷
第 25 题#25

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