Question

假设 $\triangle ABC$ 是边长为 $s$ 的等边三角形，并且具有如下性质：三角形内部存在唯一一点 $P$ ，使得 $AP = 1$ ， $BP = \sqrt{3}$ ，且 $CP = 2$ 。 $s$ 是多少？

Suppose that $\triangle ABC$ is an equilateral triangle of side length $s,$ with the property that there is a unique point $P$ inside the triangle such that $AP = 1,$ $BP = \sqrt{3},$ and $CP = 2.$ What is $s?$

$1 + \sqrt{2}$

$\sqrt{7}$

$\dfrac{8}{3}$

$\sqrt{5 + \sqrt{5}}$

$2\sqrt{2}$

答案：B

知识点：等边三角形二次方程

难度评级：2270

小提示：

对于等边三角形内一点到三个顶点的距离 $p, q, r$ 以及边长 $s$ ，四个值满足 $3(p^4 + q^4 + r^4 + s^4)$ $= (p^2 + q^2 + r^2 + s^2)^2$

For a point at distances $p, q, r$ from the vertices of an equilateral triangle of side $s,$ the four values satisfy $3(p^4 + q^4 + r^4 + s^4)$ $= (p^2 + q^2 + r^2 + s^2)^2$

大提示：

代入 $p^2 = 1$ ， $q^2 = 3$ ， $r^2 = 4$ ，并解所得关于 $s^2$ 的二次方程

Substitute $p^2 = 1,$ $q^2 = 3,$ $r^2 = 4$ and solve the resulting quadratic in $s^2$

解答：

等边三角形内一点到三个顶点的距离为 $p, q, r$ ，边长为 $s$ 时，满足 $3(p^4 + q^4 + r^4 + s^4)$ $= (p^2 + q^2 + r^2 + s^2)^2$ 。

令 $p^2 = 1$ ， $q^2 = 3$ ， $r^2 = 4$ ，并设 $S = s^2$ 得到 $3(26 + S^2) = (8 + S)^2$ ，所以 $S^2 - 8S + 7 = 0$ ，从而 $S = 1$ 或 $S = 7$ 。

边长为 $1$ 的三角形不可能包含一个到某顶点距离为 $2$ 的点，所以 $S = 7$ ，于是 $s = \sqrt{7}$ 。

因此，正确答案是 B。

A point at distances $p, q, r$ from the vertices of an equilateral triangle of side $s$ satisfies $3(p^4 + q^4 + r^4 + s^4)$ $= (p^2 + q^2 + r^2 + s^2)^2.$

With $p^2 = 1,$ $q^2 = 3,$ $r^2 = 4,$ letting $S = s^2$ gives $3(26 + S^2) = (8 + S)^2,$ so $S^2 - 8S + 7 = 0$ and $S = 1$ or $S = 7.$

A triangle of side $1$ cannot contain a point at distance $2$ from a vertex, so $S = 7$ and $s = \sqrt{7}.$

Thus, B is the correct answer.

2020 AMC 12A 第 24 题

答案：B

难度评级：2270

小提示：

大提示：

解答：

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