Question

若 $\log_MN=\log_NM$ 、 $M\ne N$ 、 $MN\gt0$ ，且 $M\ne1$ 、 $N\ne1$ ，则 $MN$ 等于：

If $\log_MN=\log_NM,$ $M\ne N,$ $MN\gt0,$ and $M\ne1,$ $N\ne1,$ then $MN$ equals:

$\dfrac12$

$1$

$2$

$10$

大于 $2$ 且小于 $10$ 的数

a number greater than $2$ and less than $10$

答案：B

知识点：代数变形对数

难度评级：1430

小提示：

用自然对数改写两个对数

Write both logarithms using natural logs

大提示：

该等式给出 $(\ln M)^2=(\ln N)^2$ ；再利用 $M\ne N$

The equality gives $(\ln M)^2=(\ln N)^2$ ; use $M\ne N$

解答：

换底公式给出 $\frac{\ln N}{\ln M}=\frac{\ln M}{\ln N}\text{，}$ 所以 $(\ln M)^2=(\ln N)^2$ 。若两个对数本身相等，就会得到已排除的 $M=N$ 。因此 $\ln M=-\ln N$ ，且 $\ln(MN)=0$ 。所以 $MN=1$ 。

因此，正确答案是 B。

Change of base gives $\frac{\ln N}{\ln M}=\frac{\ln M}{\ln N},$ so $(\ln M)^2=(\ln N)^2.$ Equality of the logs themselves would give $M=N,$ which is excluded. Hence $\ln M=-\ln N,$ and $\ln(MN)=0.$ Thus $MN=1.$

Therefore, the correct answer is B.

1966 AMC 12 第 24 题

答案：B

难度评级：1430

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题