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2008 AMC 12A 第 24 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

24.

三角形 ABCABC 中，∠C=60∘\angle C = 60^\circ，BC=4BC = 4。点 DD 是 BCBC 的中点。求 tan⁡(∠BAD)\tan(\angle BAD) 的最大可能值。

Triangle ABCABC has ∠C=60∘\angle C = 60^\circ and BC=4.BC = 4. Point DD is the midpoint of BC.BC. What is the largest possible value of tan⁡(∠BAD)?\tan(\angle BAD)?

36\dfrac{\sqrt{3}}{6}

33\dfrac{\sqrt{3}}{3}

322\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}

342−3\dfrac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2} - 3}

11

答案：D
知识点：坐标几何三角恒等式最优化
难度评级：2380
小提示：

取 C=(0,0)C = (0, 0)、B=(2,23)B = (2, 2\sqrt{3})、A=(x,0)A = (x, 0)，其中 x>0x \gt 0。

Place C=(0,0),C = (0, 0), B=(2,23),B = (2, 2\sqrt{3}), and A=(x,0)A = (x, 0) with x>0x \gt 0

大提示：

由斜率可得 tan⁡(∠BAD)=3 xx2−3x+8\tan(\angle BAD) = \dfrac{\sqrt{3}\,x}{x^2 - 3x + 8}，再对 xx 最大化。

Using slopes gives tan⁡(∠BAD)=3 xx2−3x+8;\tan(\angle BAD) = \dfrac{\sqrt{3}\,x}{x^2 - 3x + 8}; maximize over xx

解答：

取 C=(0,0)C = (0, 0)，B=(2,23)B = (2, 2\sqrt{3})，使 ∠C=60∘\angle C = 60^\circ 且 BC=4BC = 4，令 A=(x,0)A = (x, 0)，其中 x>0x \gt 0。则 D=(1,3)D = (1, \sqrt{3}) 是 BCBC 的中点。

向量 AB→=(2−x,23)\overrightarrow{AB} = (2-x, 2\sqrt{3}) 和 AD→=(1−x,3)\overrightarrow{AD} = (1-x, \sqrt{3}) 的叉积的模为 3 x\sqrt{3}\,x，点积为 x2−3x+8x^2 - 3x + 8，后者恒为正。因此 tan⁡(∠BAD)=3 xx2−3x+8。 \tan(\angle BAD) = \dfrac{\sqrt{3}\,x}{x^2 - 3x + 8}\text{。}

导数的符号与 8−x28-x^2 相同，所以唯一的最大值在 x=22x = 2\sqrt{2} 处取得。代入得 tan⁡(∠BAD)=2616−62=68−32=342−3。 \begin{aligned} \tan(\angle BAD) &= \dfrac{2\sqrt{6}}{16 - 6\sqrt{2}} \\ &= \dfrac{\sqrt{6}}{8 - 3\sqrt{2}} \\ &= \dfrac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2} - 3} \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 D。

Place C=(0,0),C = (0, 0), B=(2,23)B = (2, 2\sqrt{3}) so that ∠C=60∘\angle C = 60^\circ and BC=4,BC = 4, and let A=(x,0)A = (x, 0) with x>0.x \gt 0. Then D=(1,3)D = (1, \sqrt{3}) is the midpoint of BC.BC.

The vectors AB→=(2−x,23)\overrightarrow{AB} = (2-x, 2\sqrt{3}) and AD→=(1−x,3)\overrightarrow{AD} = (1-x, \sqrt{3}) have cross-product magnitude 3 x\sqrt{3}\,x and dot product x2−3x+8,x^2 - 3x + 8, which is always positive. Hence tan⁡(∠BAD)=3 xx2−3x+8. \tan(\angle BAD) = \dfrac{\sqrt{3}\,x}{x^2 - 3x + 8}.

The derivative has the sign of 8−x2,8-x^2, so the unique maximum occurs at x=22.x = 2\sqrt{2}. Substituting, tan⁡(∠BAD)=2616−62=68−32=342−3. \begin{aligned} \tan(\angle BAD) &= \dfrac{2\sqrt{6}}{16 - 6\sqrt{2}} \\ &= \dfrac{\sqrt{6}}{8 - 3\sqrt{2}} \\ &= \dfrac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2} - 3}. \end{aligned}

Thus, D is the correct answer.

第 23 题#23
完整试卷
第 25 题#25

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