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2021 AMC 12B Fall 第 24 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

24.

三角形 ABCABC 的边长为 AB=11AB = 11、BC=24BC = 24、CA=20CA = 20。∠BAC\angle BAC 的角平分线与 BC‾\overline{BC} 交于点 DD，并与 △ABC\triangle ABC 的外接圆交于 E≠AE \neq A。△BED\triangle BED 的外接圆与直线 ABAB 交于点 BB 和 F≠BF \neq B。求 CFCF。

Triangle ABCABC has side lengths AB=11,AB = 11, BC=24,BC = 24, and CA=20.CA = 20. The bisector of ∠BAC\angle BAC intersects BC‾\overline{BC} in point D,D, and intersects the circumcircle of △ABC\triangle ABC in point E≠A.E \neq A. The circumcircle of △BED\triangle BED intersects the line ABAB in points BB and F≠B.F \neq B. What is CF?CF?

2828

20220\sqrt{2}

3030

3232

20320\sqrt{3}

答案：C
知识点：圆幂角平分线相似
难度评级：2650
小提示：

对经过 BB、EE、DD 的圆使用点 AA 的幂：AB⋅AF=AD⋅AEAB \cdot AF = AD \cdot AE。

Apply power of the point AA to the circle through B,B, E,E, DD: AB⋅AF=AD⋅AEAB \cdot AF = AD \cdot AE

大提示：

因为 △ABE∼△ADC\triangle ABE \sim \triangle ADC，得到 AD⋅AE=AB⋅ACAD \cdot AE = AB \cdot AC，所以 AF=ACAF = AC。

Because △ABE∼△ADC,\triangle ABE \sim \triangle ADC, we get AD⋅AE=AB⋅AC,AD \cdot AE = AB \cdot AC, so AF=ACAF = AC

解答：

点 AA，DD，EE 共线于角平分线上，点 AA，BB，FF 共线于直线 ABAB。对经过 BB，EE，DD 的圆，点 AA 的幂给出 AB⋅AF=AD⋅AEAB \cdot AF = AD \cdot AE。

因为 ∠BAE=∠DAC\angle BAE = \angle DAC 且 ∠AEB=∠ACB\angle AEB = \angle ACB（同弦 ABAB 所对的角），三角形 ABEABE 与 ADCADC 相似，所以 AD⋅AE=AB⋅ACAD \cdot AE = AB \cdot AC。因此 AF=AC=20AF = AC = 20。

取 A=(0,0)A = (0, 0)、B=(11,0)B = (11, 0)。由 CA=20CA = 20、CB=24CB = 24，可得 C=(−52,15752)C = \left(-\tfrac52, \tfrac{\sqrt{1575}}{2}\right)。点 FF 在射线 ABAB 上，且 AF=20AF = 20，所以 F=(20,0)F = (20, 0)。

因此 CF2=(20+52)2+15754CF^2 = \left(20 + \tfrac52\right)^2 + \tfrac{1575}{4} =20254+15754= \tfrac{2025}{4} + \tfrac{1575}{4} =900= 900，所以 CF=30CF = 30。

所以正确答案是 C。

Points A,A, D,D, EE are collinear on the bisector, and A,A, B,B, FF are collinear on line AB.AB. The power of AA with respect to the circle through B,B, E,E, DD gives AB⋅AF=AD⋅AE.AB \cdot AF = AD \cdot AE.

Since ∠BAE=∠DAC\angle BAE = \angle DAC and ∠AEB=∠ACB\angle AEB = \angle ACB (subtending ABAB), triangles ABEABE and ADCADC are similar, so AD⋅AE=AB⋅AC.AD \cdot AE = AB \cdot AC. Therefore AF=AC=20.AF = AC = 20.

Place A=(0,0),A = (0, 0), B=(11,0).B = (11, 0). From CA=20,CA = 20, CB=24,CB = 24, point C=(−52,15752).C = \left(-\tfrac52, \tfrac{\sqrt{1575}}{2}\right). Point FF lies on ray ABAB with AF=20,AF = 20, so F=(20,0).F = (20, 0).

Then CF2=(20+52)2+15754CF^2 = \left(20 + \tfrac52\right)^2 + \tfrac{1575}{4} =20254+15754= \tfrac{2025}{4} + \tfrac{1575}{4} =900,= 900, so CF=30.CF = 30.

Thus, the correct answer is C.

第 23 题#23
完整试卷
第 25 题#25

其他年份的第 24 题

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