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2021 AMC 12B Fall 第 25 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

25.

对正整数 nn，令 R(n)R(n) 为 nn 分别除以 22、33、44、55、66、77、88、99、1010 时所得余数之和。例如， R(15)=1+0+3+0+3+1+7+6+5=26。 \begin{aligned} &R(15) = 1 + 0 + 3 + 0 + 3 \\ &\quad {}+ 1 + 7 + 6 + 5 = 26\text{。} \end{aligned} 有多少个两位正整数 nn 满足 R(n)=R(n+1)？R(n) = R(n + 1)\text{？}

For nn a positive integer, let R(n)R(n) be the sum of the remainders when nn is divided by 2,2, 3,3, 4,4, 5,5, 6,6, 7,7, 8,8, 9,9, and 10.10. For example, R(15)=1+0+3+0+3+1+7+6+5=26. \begin{aligned} &R(15) = 1 + 0 + 3 + 0 + 3 \\ &\quad {}+ 1 + 7 + 6 + 5 = 26. \end{aligned} How many two-digit positive integers nn satisfy R(n)=R(n+1)?R(n) = R(n + 1)?

00

11

22

33

44

答案：C
知识点：模运算整除性
难度评级：2800
小提示：

当 nn 增加 11 时，每个余数通常增加 11；若 n+1n+1 是 mm 的倍数，则该余数降为 00。

When nn increases by 1,1, each remainder rises by 11 unless n+1n+1 is divisible by m,m, where it drops to 00

大提示：

R(n+1)−R(n)R(n+1) - R(n) =9−∑m∣n+1m= 9 - \sum_{m \mid n+1} m，其中只对 n+1n+1 在 2,…,102, \ldots, 10 中的因数求和；需要这些因子之和为 99。

R(n+1)−R(n)R(n+1) - R(n) =9−∑m∣n+1m,= 9 - \sum_{m \mid n+1} m, so you need the divisors of n+1n+1 among 2,…,102, \ldots, 10 to sum to 99

解答：

从 nn 变为 n+1n + 1 时，每个余数 n mod mn \bmod m 都增加 11，除非 n+1n + 1 是 mm 的倍数，此时它从 m−1m - 1 降为 00。所以 R(n+1)−R(n)=9−∑2≤m≤10m∣n+1m。 \begin{aligned} &R(n+1) - R(n) \\ &= 9 - \sum_{\substack{2 \le m \le 10 \\ m \mid n+1}} m \end{aligned}\text{。}

从 22 到 1010 的互异整数之和等于 99 的方式只有 {9},{2,7},{3,6},{4,5}\{9\},\{2,7\},\{3,6\},\{4,5\}，或 {2,3,4}\{2,3,4\}。因数的闭包性质排除了除 {2,7}\{2,7\} 外的所有情形：例如，99 的倍数也有因数 33，而 66 的倍数也有因数 22 和 33。因此 n+1n+1 必须是 1414 的倍数，并且在 {2,…,10}\{2,\ldots,10\} 中没有其他因数。

检查所需范围内的倍数 14,28,42,56,70,84,9814,28,42,56,70,84,98，只留下 1414 和 9898。所以 n=13n=13 或 n=97n=97，共有 22 个值。

因此，正确答案是 C。

Going from nn to n+1,n + 1, each remainder n mod mn \bmod m increases by 11 unless n+1n + 1 is divisible by m,m, in which case it drops from m−1m - 1 to 0.0. So R(n+1)−R(n)=9−∑2≤m≤10m∣n+1m. \begin{aligned} &R(n+1) - R(n) \\ &= 9 - \sum_{\substack{2 \le m \le 10 \\ m \mid n+1}} m. \end{aligned}

Distinct integers from 22 through 1010 can sum to 99 only as {9},{2,7},{3,6},{4,5},\{9\},\{2,7\},\{3,6\},\{4,5\}, or {2,3,4}.\{2,3,4\}. Divisibility closure eliminates every case except {2,7}:\{2,7\}: for example, a multiple of 99 also has divisor 3,3, and a multiple of 66 also has divisors 22 and 3.3. Thus n+1n+1 must be a multiple of 1414 with no other divisor in {2,…,10}.\{2,\ldots,10\}.

Testing the multiples 14,28,42,56,70,84,9814,28,42,56,70,84,98 in the required range leaves only 1414 and 98.98. Hence n=13n=13 or n=97,n=97, giving 22 values.

Thus, the correct answer is C.

第 24 题#24
完整试卷

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