Question

对每个整数 $n \ge 4$ ，令 $a_n$ 表示 $n$ 进制数 $0.\overline{133}_n$ 。乘积 $a_4 a_5 \ldots a_{99}$ 可表示为 $\dfrac{m}{n!}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是正整数，且 $n$ 尽可能小。 $m$ 的值是多少？

For each integer $n \ge 4,$ let $a_n$ denote the base- $n$ number $0.\overline{133}_n.$ The product $a_4 a_5 \ldots a_{99}$ can be expressed as $\dfrac{m}{n!},$ where $m$ and $n$ are positive integers and $n$ is as small as possible. What is the value of $m?$

$98$

$101$

$132$

$798$

$962$

答案：E

知识点：进制裂项相消立方和与立方差

难度评级：2440

小提示：

一个循环 $n$ 进制小数 $0.\overline{133}_n$ 等于 $\dfrac{n^2 + 3n + 3}{n^3 - 1}$ 。

A repeating base- $n$ fraction $0.\overline{133}_n$ equals $\dfrac{n^2 + 3n + 3}{n^3 - 1}$

大提示：

注意 $n^2 + 3n + 3 = \dfrac{(n+1)^3 - 1}{n}$ ，这会使乘积裂项相消。

Note $n^2 + 3n + 3 = \dfrac{(n+1)^3 - 1}{n},$ which makes the product telescope

解答：

因为 $n^3 \cdot a_n = 133.\overline{133}_n$ $= a_n + n^2 + 3n + 3$ ，得到 $\begin{aligned} a_n &= \dfrac{n^2 + 3n + 3}{n^3 - 1} \\ &= \dfrac{(n+1)^3 - 1}{n(n^3 - 1)} \end{aligned}\text{。}$

写成 $n^3 - 1 = (n - 1)(n^2 + n + 1)$ ，以及 $(n+1)^3 - 1$ $= n\big((n+1)^2 + (n+1) + 1\big)$ ，乘积 $a_4 a_5 \cdots a_{99}$ 裂项相消为 $\begin{gathered} \dfrac{3!}{99!} \cdot \dfrac{100^3 - 1}{4^3 - 1} \\ {}= \dfrac{3!}{99!} \cdot \dfrac{99(100^2 + 100 + 1)}{63} \end{gathered}\text{。}$

它化简为 $\dfrac{(2)(10101)}{(21)(98!)} = \dfrac{962}{98!}$ 。若 $n \le 97$ ，把这个分数改写成以 $n!$ 为分母会要求 $98$ 整除 $962$ ，但并不成立。因此最小可能的 $n$ 是 $98$ ，且 $m = 962$ 。

所以正确答案是 E。

Since $n^3 \cdot a_n = 133.\overline{133}_n$ $= a_n + n^2 + 3n + 3,$ we get $\begin{aligned} a_n &= \dfrac{n^2 + 3n + 3}{n^3 - 1} \\ &= \dfrac{(n+1)^3 - 1}{n(n^3 - 1)}. \end{aligned}$

Writing $n^3 - 1 = (n - 1)(n^2 + n + 1)$ and $(n+1)^3 - 1$ $= n\big((n+1)^2 + (n+1) + 1\big),$ the product $a_4 a_5 \cdots a_{99}$ telescopes to $\begin{gathered} \dfrac{3!}{99!} \cdot \dfrac{100^3 - 1}{4^3 - 1} \\ {}= \dfrac{3!}{99!} \cdot \dfrac{99(100^2 + 100 + 1)}{63}. \end{gathered}$

This simplifies to $\dfrac{(2)(10101)}{(21)(98!)} = \dfrac{962}{98!}.$ If $n \le 97,$ then rewriting this fraction with denominator $n!$ would require $98$ to divide $962,$ which it does not. Hence the smallest possible $n$ is $98,$ and $m = 962.$

Thus, the correct answer is E.

2004 AMC 12A 第 25 题

答案：E

难度评级：2440

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题