Question

$ABC$ 是一个三角形，其中 $A=(0,0)$ 、 $B=(36,15)$ ，且点 $C$ 的两个坐标都是整数。 $\triangle ABC$ 的面积最小可以是多少？

$ABC$ is a triangle: $A=(0,0),$ $B=(36,15),$ and both the coordinates of $C$ are integers. What is the minimum area $\triangle ABC$ can have?

$\frac12$

$1$

$\frac32$

$\frac{13}{2}$

不存在最小值

there is no minimum

答案：C

知识点：坐标几何 determinant area 最大公约数

难度评级：2170

小提示：

令 $C=(u,v)$ ，并使用三角形面积的行列式公式

Write $C=(u,v)$ and use the determinant formula for triangle area

大提示：

求出 $|36v-15u|$ 的最小正值时，利用 $\gcd(36,15)$

Find the smallest positive value of $|36v-15u|$ using $\gcd(36,15)$

解答：

对于 $C=(u,v)$ ，三角形的面积为 $\frac12|36v-15u|\text{。}$ 因为 $\gcd(36,15)=3$ ，所以行列式的最小正值至少是 $3$ 。这个值确实可以取得，例如取 $u=7,\ v=3$ ，就有 $36(3)-15(7)=3$ 。因此最小面积为 $\frac{3}{2}$ 。

因此，正确答案是 C。

For $C=(u,v),$ the area is $\frac12|36v-15u|.$ Since $\gcd(36,15)=3,$ the smallest possible positive value of the determinant is at least $3.$ It is attained, for example, by $u=7,\ v=3,$ since $36(3)-15(7)=3.$ Therefore the minimum area is $\frac{3}{2}.$

Thus the correct answer is C.

1987 AMC 12 第 25 题

答案：C

难度评级：2170

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题