Question

已知 $x^2+y^2=14x+6y+6$ ， $3x+4y$ 的最大可能值是多少？

Given that $x^2+y^2=14x+6y+6,$ what is the largest possible value that $3x+4y$ can have?

$72$

$73$

$74$

$75$

$76$

答案：B

知识点：circles linear optimization

难度评级：1590

小提示：

配方，确定圆心和半径

Complete the square to identify the circle’s center and radius

大提示：

$3x+4y$ 的最大值等于它在圆心处的值加上半径乘以 $\sqrt{3^2+4^2}$

The maximum of $3x+4y$ is its value at the center plus the radius times $\sqrt{3^2+4^2}$

解答：

配方得 $(x-7)^2+(y-3)^2=64\text{。}$ 在圆心处， $3x+4y=3(7)+4(3)=33$ 。移动 $8$ 个单位，方向取为向量 $(3,4)$ 的方向，表达式会增加 $8\sqrt{3^2+4^2}=40$ 。最大值为 $73$ ，所以正确答案是 B。

Completing the square gives $(x-7)^2+(y-3)^2=64.$ At the center, $3x+4y=3(7)+4(3)=33.$ Moving $8$ units in the direction of the vector $(3,4)$ increases the expression by $8\sqrt{3^2+4^2}=40.$ The maximum is $73,$ so the correct answer is B.

1996 AMC 12 第 25 题

答案：B

难度评级：1590

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题