Question

对于正整数 $n$ 和非零数字 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，设 $A_n$ 为一个 $n$ 位整数，其每一位都等于 $a$ ；设 $B_n$ 为一个 $n$ 位整数，其每一位都等于 $b$ ；设 $C_n$ 为一个 $2n$ 位（而不是 $n$ 位）整数，其每一位都等于 $c$ 。若存在至少两个 $n$ 的取值使 $C_n - B_n = A_n^2$ ，则 $a + b + c$ 的最大可能值是多少？

For a positive integer $n$ and nonzero digits $a,$ $b,$ and $c,$ let $A_n$ be the $n$ -digit integer each of whose digits is equal to $a;$ let $B_n$ be the $n$ -digit integer each of whose digits is equal to $b;$ and let $C_n$ be the $2n$ -digit (not $n$ -digit) integer each of whose digits is equal to $c.$ What is the greatest possible value of $a + b + c$ for which there are at least two values of $n$ such that $C_n - B_n = A_n^2?$

$12$

$14$

$16$

$18$

$20$

答案：D

知识点：数字代数变形

难度评级：2650

小提示：

写 $A_n = a \cdot \tfrac{10^n - 1}{9}$ ，同样写出 $B_n$ ，且 $C_n = c \cdot \tfrac{10^{2n} - 1}{9}$ ，再代入 $C_n - B_n = A_n^2$ 。

Write $A_n = a \cdot \tfrac{10^n - 1}{9},$ and likewise $B_n$ and $C_n = c \cdot \tfrac{10^{2n} - 1}{9},$ then substitute into $C_n - B_n = A_n^2$

大提示：

要对两个 $n$ 的取值成立，迫使 $10^n$ 的系数为零： $9c = a^2$ 且 $9b - 9c = a^2$ 。

Requiring it for two values of $n$ forces the coefficient of $10^n$ to vanish: $9c = a^2$ and $9b - 9c = a^2$

解答：

利用 $A_n = a \cdot \tfrac{10^n - 1}{9}$ 、 $B_n = b \cdot \tfrac{10^n - 1}{9}$ 以及 $C_n = c \cdot \tfrac{10^{2n} - 1}{9}$ ，方程 $C_n - B_n = A_n^2$ 在除以 $10^n - 1$ 并清分母后变为 $(9c - a^2) \cdot 10^n = 9b - 9c - a^2\text{。}$ 若它要对两个不同的 $n$ 成立，则 $10^n$ 的系数必须为零，所以 $9c = a^2$ ，进而 $9b - 9c - a^2 = 0$ 。

于是 $c = \tfrac{a^2}{9}$ 且 $b = 2c$ 。因此 $a \in \{3, 6, 9\}$ ，对应 $c \in \{1, 4, 9\}$ 和 $b \in \{2, 8, 18\}$ ；情况 $b = 18$ 不是一个数字。有效三元组为 $(a, b, c) = (3, 2, 1)$ 和 $(6, 8, 4)$ ，而且确实有 $4444 - 88 = 4356 = 66^2$ 。较大的数字和为 $6 + 8 + 4 = 18$ 。

所以正确答案是 D。

Using $A_n = a \cdot \tfrac{10^n - 1}{9},$ $B_n = b \cdot \tfrac{10^n - 1}{9},$ and $C_n = c \cdot \tfrac{10^{2n} - 1}{9},$ the equation $C_n - B_n = A_n^2$ becomes, after dividing by $10^n - 1$ and clearing fractions, $(9c - a^2) \cdot 10^n = 9b - 9c - a^2.$ For this to hold at two different $n,$ the coefficient of $10^n$ must be zero, so $9c = a^2$ and hence $9b - 9c - a^2 = 0.$

Then $c = \tfrac{a^2}{9}$ and $b = 2c.$ So $a \in \{3, 6, 9\}$ with $c \in \{1, 4, 9\}$ and $b \in \{2, 8, 18\};$ the case $b = 18$ is not a digit. The valid triples are $(a, b, c) = (3, 2, 1)$ and $(6, 8, 4),$ and indeed $4444 - 88 = 4356 = 66^2.$ The greater digit sum is $6 + 8 + 4 = 18.$

Thus, the correct answer is D.

2018 AMC 12A 第 25 题

答案：D

难度评级：2650

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题