Question

设 $k$ 为正整数。Bernardo 和 Silvia 轮流在黑板上写数和擦数：Bernardo 先写下最小的 $k+1$ 位完全平方数。每当 Bernardo 写下一个数，Silvia 就擦去它的最后 $k$ 位数字。然后 Bernardo 写下下一个完全平方数，Silvia 再擦去最后 $k$ 位，如此继续，直到黑板上最后留下的两个数相差至少 $2$ 。令 $f(k)$ 为黑板上没有出现过的最小正整数。例如，当 $k=1$ 时，Bernardo 写下的数为 $16$ ， $25$ ， $36$ ， $49$ 和 $64$ ；Silvia 擦除后黑板上显示的数为 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ 和 $6$ ，因此 $f(1)=5$ 。求 $f(2)+f(4)$ $+f(6)+\cdots+f(2016)$ 的各位数字之和。

Let $k$ be a positive integer. Bernardo and Silvia take turns writing and erasing numbers on a blackboard as follows: Bernardo starts by writing the smallest perfect square with $k+1$ digits. Every time Bernardo writes a number, Silvia erases the last $k$ digits of it. Bernardo then writes the next perfect square, Silvia erases the last $k$ digits of it, and this process continues until the last two numbers that remain on the board differ by at least $2.$ Let $f(k)$ be the smallest positive integer not written on the board. For example, if $k=1,$ then the numbers that Bernardo writes are $16,$ $25,$ $36,$ $49,$ and $64,$ and the numbers showing on the board after Silvia erases are $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ and $6,$ and thus $f(1)=5.$ What is the sum of the digits of $f(2)+f(4)$ $+f(6)+\cdots+f(2016)?$

$7986$

$8002$

$8030$

$8048$

$8064$

答案：E

知识点：完全平方数取整函数数字

难度评级：2720

小提示：

对偶数 $k=2j$ ，黑板上显示的数是 $\left\lfloor \frac{n^2}{10^{k}}\right\rfloor$ ，其中 $n\ge 10^{j}$ 。

For even $k=2j,$ the numbers shown are $\left\lfloor \frac{n^2}{10^{k}}\right\rfloor$ for $n\ge 10^{j}$

大提示：

证明 $f(2j)=\dfrac{10^{2j}}{4}+10^{j}$ ，然后对 $j$ 求和。

Show $f(2j)=\dfrac{10^{2j}}{4}+10^{j},$ then add over $j$

解答：

取 $k=2j$ 。最小的 $k+1$ 位完全平方数是 $10^{k}=(10^{j})^2$ 。Silvia 擦除数字后，黑板上显示的数为 $\left\lfloor \frac{n^2}{10^{k}}\right\rfloor$ ，其中 $n=10^{j}, 10^{j}+1,\ldots$ 。

令 $M=10^k$ 。从 $n$ 到 $n+1$ 要出现至少为 $2$ 的跳跃，需要 $(n+1)^2-n^2=2n+1\gt M$ ，因此写 $n=\frac{M}{2}+m$ ，其中 $m\ge0$ 。当 $m=0$ 时跳跃只有 $1$ ，所以第一次更大的跳跃满足 $m\ge1$ 。令 $A=\left\lfloor \frac{n^2}{M}\right\rfloor$ ， $B=\left\lfloor\frac{(n+1)^2}{M}\right\rfloor$ 。因为 $M$ 能被 $4$ 整除， $\begin{aligned} A&=\dfrac M4+m+\left\lfloor\dfrac{m^2}{M}\right\rfloor,\\ B&=\dfrac M4+m+1\\ &\quad{}+\left\lfloor\dfrac{(m+1)^2}{M}\right\rfloor \end{aligned}\text{。}$

因此第一次至少为 $2$ 的跳跃出现在使 $m^2\lt M\le(m+1)^2$ 成立的最小 $m$ 处。因为 $\sqrt M=10^j$ ，所以 $m=10^j-1$ 。间隙之前最后显示的数是 $\frac{M}{4}+10^j-1$ ，所以最小的未出现正整数为 $f(2j)=\dfrac{10^{2j}}4+10^j\text{。}$

对 $j=1,\ldots,1008$ 求和，得到 $\begin{gathered} \sum_{j=1}^{1008}f(2j)\\ =25\sum_{j=0}^{1007}10^{2j}\\ {}+10\sum_{j=0}^{1007}10^{j}\\ =\underbrace{2525\cdots25}_{2016\text{ 位数字}}\\ {}+\underbrace{111\cdots10}_{1009\text{ 位数字}} \end{gathered}\text{。}$ 相加时没有进位，所以各位数字之和为 $1008\cdot(2+5)$ $+1008\cdot 1=1008\cdot 8=8064$ 。

所以正确答案是 E。

Take $k=2j.$ The smallest perfect square with $k+1$ digits is $10^{k}=(10^{j})^2,$ and after Silvia erases, the numbers shown are $\left\lfloor \frac{n^2}{10^{k}}\right\rfloor$ for $n=10^{j}, 10^{j}+1,\ldots$

Put $M=10^k.$ A jump of at least $2$ from $n$ to $n+1$ requires $(n+1)^2-n^2=2n+1\gt M,$ so write $n=\frac{M}{2}+m$ with $m\ge0.$ The case $m=0$ gives a jump of only $1,$ so the first larger jump has $m\ge1.$ Let $A=\left\lfloor \frac{n^2}{M}\right\rfloor$ and $B=\left\lfloor\frac{(n+1)^2}{M}\right\rfloor.$ Because $M$ is divisible by $4,$ $\begin{aligned} A&=\dfrac M4+m+\left\lfloor\dfrac{m^2}{M}\right\rfloor,\\ B&=\dfrac M4+m+1\\ &\quad{}+\left\lfloor\dfrac{(m+1)^2}{M}\right\rfloor. \end{aligned}$

Therefore the first jump of at least $2$ occurs at the first $m$ for which $m^2\lt M\le(m+1)^2.$ Since $\sqrt M=10^j,$ this is $m=10^j-1.$ The last displayed value before the gap is $\frac{M}{4}+10^j-1,$ so the smallest missing integer is $f(2j)=\dfrac{10^{2j}}4+10^j.$

Summing over $j=1,\ldots,1008,$ $\begin{gathered} \sum_{j=1}^{1008}f(2j)\\ =25\sum_{j=0}^{1007}10^{2j}\\ {}+10\sum_{j=0}^{1007}10^{j}\\ =\underbrace{2525\cdots25}_{2016\text{ digits}}\\ {}+\underbrace{111\cdots10}_{1009\text{ digits}}. \end{gathered}$ There are no carries, so the digit sum is $1008\cdot(2+5)$ $+1008\cdot 1=1008\cdot 8=8064.$

Thus, the correct answer is E.

2016 AMC 12A 第 25 题

答案：E

难度评级：2720

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题