LIVE by Po-Shen Loh标识

LIVE

中文

2007 AMC 12B 第 25 题

先试着解答 2007 AMC 12B 第 25 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2007 AMC 12B 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

25.

点 AA、BB、CC、DD、EE 位于 33 维空间中，满足 AB=BC=CDAB=BC=CD =DE=EA=2=DE=EA=2，且 ∠ABC=∠CDE\angle ABC=\angle CDE =∠DEA=90∘=\angle DEA=90^\circ。△ABC\triangle ABC 所在平面平行于 DE‾\overline{DE}。求 △BDE\triangle BDE 的面积。

Points A,A, B,B, C,C, D,D, and EE are located in 33-dimensional space with AB=BC=CDAB=BC=CD =DE=EA=2=DE=EA=2 and ∠ABC=∠CDE\angle ABC=\angle CDE =∠DEA=90∘.=\angle DEA=90^\circ. The plane of △ABC\triangle ABC is parallel to DE‾.\overline{DE}. What is the area of △BDE?\triangle BDE?

2\sqrt{2}

3\sqrt{3}

22

5\sqrt{5}

6\sqrt{6}

答案：C
知识点：立体几何坐标几何三角形面积
难度评级：2400
小提示：

取 D=(−1,0,0)D=(-1,0,0)，E=(1,0,0)E=(1,0,0)，并把 △ABC\triangle ABC 放在水平平面 z=k>0z=k\gt0 中。

Place D=(−1,0,0),D=(-1,0,0), E=(1,0,0),E=(1,0,0), and put △ABC\triangle ABC in a horizontal plane z=k>0z=k\gt0

大提示：

DD 和 EE 处的直角使 A,CA,C 在半径为 22 的圆上；用 AC=22AC=2\sqrt2 求 kk。

The right angles at DD and EE put A,CA,C on radius-22 circles; use AC=22AC=2\sqrt2 to find kk

解答：

取 D=(−1,0,0)D=(-1,0,0)、E=(1,0,0)E=(1,0,0)，令 △ABC\triangle ABC 在平面 z=k>0z=k\gt0 中。由于 ∠CDE\angle CDE 和 ∠DEA\angle DEA 为直角，AA 和 CC 分别位于以 EE 和 DD 为圆心、半径为 22 的圆上；这两个圆所在的平面分别为 x=1x=1 和 x=−1x=-1。因此 A=(1,y1,k), C=(−1,y2,k)A=(1,y_1,k),\ C=(-1,y_2,k)，其中 yj=±4−k2y_j=\pm\sqrt{4-k^2}。

因为 ∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ，所以 AC=22AC=2\sqrt2，这迫使 y1=−y2y_1=-y_2。取 y1=1y_1=1，y2=−1y_2=-1，得 k=3k=\sqrt3，于是 A=(1,1,3)A=(1,1,\sqrt3)，C=(−1,−1,3)C=(-1,-1,\sqrt3)，而 BB 为 (1,−1,3)(1,-1,\sqrt3) 或 (−1,1,3)(-1,1,\sqrt3)。

第一种情况下 BE=2BE=2 且 BE⊥DEBE\perp DE；第二种情况下 BD=2BD=2 且 BD⊥DEBD\perp DE。无论哪种，△BDE\triangle BDE 的两条垂直边长度分别为 22 和 22，面积为 12(2)(2)=2\tfrac12(2)(2)=2。

所以正确答案是 C。

Set D=(−1,0,0)D=(-1,0,0) and E=(1,0,0),E=(1,0,0), and let △ABC\triangle ABC lie in the plane z=k>0.z=k\gt0. Because ∠CDE\angle CDE and ∠DEA\angle DEA are right angles, AA and CC lie on radius-22 circles centered at EE and DD in the planes x=1x=1 and x=−1,x=-1, so A=(1,y1,k), C=(−1,y2,k)A=(1,y_1,k),\ C=(-1,y_2,k) with yj=±4−k2.y_j=\pm\sqrt{4-k^2}.

Since ∠ABC=90∘,\angle ABC=90^\circ, AC=22,AC=2\sqrt2, which forces y1=−y2.y_1=-y_2. Taking y1=1,y_1=1, y2=−1,y_2=-1, gives k=3,k=\sqrt3, so A=(1,1,3),A=(1,1,\sqrt3), C=(−1,−1,3),C=(-1,-1,\sqrt3), and BB is (1,−1,3)(1,-1,\sqrt3) or (−1,1,3).(-1,1,\sqrt3).

In the first case BE=2BE=2 with BE⊥DE;BE\perp DE; in the second BD=2BD=2 with BD⊥DE.BD\perp DE. Either way △BDE\triangle BDE has legs 22 and 2,2, so its area is 12(2)(2)=2.\tfrac12(2)(2)=2.

Thus, the correct answer is C.

第 24 题#24
完整试卷

其他年份的第 25 题

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B