Question

设 $d(n)$ 表示整除 $n$ 的正整数个数，包括 $1$ 和 $n$ 。例如， $d(1) = 1$ ， $d(2) = 2$ ，且 $d(12) = 6$ 。（这个函数称为约数函数。）令 $f(n) = \frac{d(n)}{\sqrt[3]{n}}\text{。}$

存在唯一的正整数 $N$ ，使得对所有正整数 $n \ne N$ 都有 $f(N) \gt f(n)$ 。求 $N$ 的各位数字之和。

Let $d(n)$ denote the number of positive integers that divide $n,$ including $1$ and $n.$ For example, $d(1) = 1,$ $d(2) = 2,$ and $d(12) = 6.$ (This function is known as the divisor function.) Let $f(n) = \frac{d(n)}{\sqrt[3]{n}}.$

There is a unique positive integer $N$ such that $f(N) \gt f(n)$ for all positive integers $n \ne N.$ What is the sum of the digits of $N?$

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

答案：E

知识点：因数个数质因数分解最优化

难度评级：2610

小提示：

$f$ 是乘法函数，所以可对每个质数 $p$ 独立最大化 $\dfrac{e + 1}{p^{\frac{e}{3}}}$ 。

$f$ is multiplicative, so maximize $\dfrac{e + 1}{p^{\frac{e}{3}}}$ independently for each prime $p$

大提示：

对 $p = 2$ ，最佳指数是 $3$ ；对 $p = 3$ ，最佳指数是 $2$ ；对 $p = 5, 7$ ，最佳指数是 $1$ ；对 $p \ge 11$ ，最佳指数是 $0$ 。

For $p = 2$ the best exponent is $3;$ for $p = 3$ it is $2;$ for $p = 5, 7$ it is $1;$ and for $p \ge 11$ it is $0$

解答：

因为 $f(n) = \dfrac{d(n)}{n^{\frac{1}{3}}}$ 是乘法函数，它的值可按质数幂分解为各个 $p^e\ \|\ n$ 所对应的项 $\dfrac{e + 1}{p^{\frac{e}{3}}}$ 的乘积。我们分别最大化每一项。

设 $g_p(e)=\dfrac{e+1}{p^{\frac{e}{3}}}$ ，则 $\dfrac{g_p(e+1)}{g_p(e)}=\dfrac{e+2}{e+1}p^{-\frac{1}{3}}$ 。这个比值随 $e$ 递减，所以只要看它第一次小于 $1$ 的位置，就能确定唯一的最大值。由此得到：对 $p=2$ 取 $e=3$ ；对 $p=3$ 取 $e=2$ ；对 $p=5,7$ 取 $e=1$ ；而对每个质数 $p\ge11$ 取 $e=0$ 。

因此 $N = 2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7 = 2520$ ，其数字和为 $2 + 5 + 2 + 0 = 9$ 。

因此，正确答案是 E。

Since $f(n) = \dfrac{d(n)}{n^{\frac{1}{3}}}$ is multiplicative, its value factors over prime powers as a product of terms $\dfrac{e + 1}{p^{\frac{e}{3}}}$ for each prime power $p^e\ \|\ n.$ We maximize each term separately.

If $g_p(e)=\dfrac{e+1}{p^{\frac{e}{3}}},$ then $\dfrac{g_p(e+1)}{g_p(e)}=\dfrac{e+2}{e+1}p^{-\frac{1}{3}}.$ This ratio decreases with $e,$ so checking where it first falls below $1$ finds the unique maximum. It gives $e=3$ for $p=2,$ $e=2$ for $p=3,$ $e=1$ for $p=5,7,$ and $e=0$ for every prime $p\ge11.$

Hence $N = 2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7 = 2520,$ whose digit sum is $2 + 5 + 2 + 0 = 9.$

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12A Spring 第 25 题

答案：E

难度评级：2610

小提示：

大提示：

解答：

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