Question

半圆 $\Gamma$ 的直径 $AB$ 长为 $14$ 。圆 $\Omega$ 在点 $P$ 与 $AB$ 相切，并与 $\Gamma$ 相交于点 $Q$ 和 $R$ 。若 $QR = 3\sqrt3$ 且 $\angle QPR = 60^\circ$ ，则 $\triangle PQR$ 的面积为 $\dfrac{a\sqrt b}{c}$ ，其中 $a$ 和 $c$ 是互质正整数， $b$ 是不被任何质数平方整除的正整数。求 $a + b + c$ 。

Semicircle $\Gamma$ has diameter $AB$ of length $14.$ Circle $\Omega$ lies tangent to $AB$ at a point $P$ and intersects $\Gamma$ at points $Q$ and $R.$ If $QR = 3\sqrt3$ and $\angle QPR = 60^\circ,$ then the area of $\triangle PQR$ is $\dfrac{a\sqrt b}{c},$ where $a$ and $c$ are relatively prime positive integers and $b$ is a positive integer not divisible by the square of any prime. What is $a + b + c?$

$110$

$114$

$118$

$122$

$126$

答案：D

知识点：正弦定理根轴坐标几何

难度评级：2760

小提示：

在圆 $\Omega$ 中， $QR = 2r\sin\angle QPR$ ，从而得到半径 $r = 3$ 。

In circle $\Omega,$ $QR = 2r\sin\angle QPR,$ which gives the radius $r = 3$

大提示：

设 $A = (-7,0)$ 、 $B = (7,0)$ 、 $P = (p, 0)$ ，圆心为 $(p, 3)$ ；两圆的根轴确定 $QR$ ，面积为 $\tfrac12\, QR\cdot d(P, QR)$

Set $A = (-7,0),$ $B = (7,0),$ $P = (p, 0),$ center $(p, 3);$ the radical axis of the two circles locates $QR,$ and the area is $\tfrac12\, QR\cdot d(P, QR)$

解答：

在圆 $\Omega$ 中，弦 $QR$ 所对的圆周角 $\angle QPR = 60^\circ$ ，所以 $QR = 2r\sin 60^\circ$ ，于是 $3\sqrt3 = r\sqrt3$ ，得 $r = 3$ 。

设 $A = (-7, 0)$ 、 $B = (7, 0)$ ，且 $\Gamma: x^2 + y^2 = 49$ （上半圆）。因为 $\Omega$ 在 $P = (p, 0)$ 处与 $AB$ 相切，其圆心为 $(p, 3)$ 。两个圆方程相减得到直线 $QR$ ，而圆心 $(p,3)$ 到 $QR$ 的距离必须等于 $r\cos 60^\circ = \tfrac32$ 。这给出 $(p^2 - 31)^2 = 9p^2 + 81$ ，所以 $p^2 = 16$ （根 $p^2 = 55$ 会使 $P$ 在 $AB$ 外）。

当 $p^2 = 16$ 时，点 $P$ 到直线 $QR$ 的距离是 $\dfrac{49 - p^2}{\sqrt{4p^2 + 36}} = \dfrac{33}{10}$ 。因此 $\begin{aligned} [\triangle PQR] &= \tfrac12\cdot QR\cdot d \\ &= \tfrac12\cdot 3\sqrt3\cdot\tfrac{33}{10} \\ &= \frac{99\sqrt3}{20}\text{。} \end{aligned}$ 所以 $a = 99$ 、 $b = 3$ 、 $c = 20$ ，且 $a + b + c = 122$ 。

因此，正确答案是 D。

In circle $\Omega,$ the chord $QR$ subtends the inscribed angle $\angle QPR = 60^\circ,$ so $QR = 2r\sin 60^\circ,$ giving $3\sqrt3 = r\sqrt3,$ hence $r = 3.$

Place $A = (-7, 0),$ $B = (7, 0),$ with $\Gamma: x^2 + y^2 = 49$ (upper half). Since $\Omega$ is tangent to $AB$ at $P = (p, 0),$ its center is $(p, 3).$ Subtracting the two circle equations gives the line $QR,$ and the distance from the center $(p,3)$ to $QR$ must equal $r\cos 60^\circ = \tfrac32.$ This yields $(p^2 - 31)^2 = 9p^2 + 81,$ so $p^2 = 16$ (the root $p^2 = 55$ places $P$ outside $AB$ ).

With $p^2 = 16,$ the distance from $P$ to line $QR$ is $\dfrac{49 - p^2}{\sqrt{4p^2 + 36}} = \dfrac{33}{10}.$ Thus $\begin{aligned} [\triangle PQR] &= \tfrac12\cdot QR\cdot d \\ &= \tfrac12\cdot 3\sqrt3\cdot\tfrac{33}{10} \\ &= \frac{99\sqrt3}{20}. \end{aligned}$ So $a = 99,$ $b = 3,$ $c = 20,$ and $a + b + c = 122.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12A Spring 第 24 题

答案：D

难度评级：2760

小提示：

大提示：

解答：

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