Question

若一个 $7$ 位电话号码 $d_1d_2d_3$ - $d_4d_5d_6d_7$ 的前三位序列 $d_1d_2d_3$ 与序列 $d_4d_5d_6$ 或 $d_5d_6d_7$ 完全相同（也可能两者都相同），则称它是 易记的。假设每个 $d_i$ 都可以是十进制数字 $0$ 、 $1$ 、 $2$ 、 $\ldots$ 、 $9$ 中的任意一个，则不同的易记电话号码共有

Call a $7$ -digit telephone number $d_1d_2d_3$ - $d_4d_5d_6d_7$ memorable if the prefix sequence $d_1d_2d_3$ is exactly the same as either of the sequences $d_4d_5d_6$ or $d_5d_6d_7$ (possibly both). Assuming that each $d_i$ can be any of the ten decimal digits $0,$ $1,$ $2,$ $\ldots,$ $9,$ the number of different memorable telephone numbers is

$19{,}810$

$19{,}910$

$19{,}990$

$20{,}000$

$20{,}100$

答案：C

知识点：容斥原理 digit strings

难度评级：1800

小提示：

分别数出满足两个匹配条件之一的电话号码个数

Count numbers satisfying each of the two matching conditions separately

大提示：

若两个匹配条件同时成立，则七个数字都由同一个重复数字确定

If both matches hold, all seven digits are forced by one repeated digit

解答：

每个匹配条件都给出 $10^4=10,000$ 个号码：选择三个前缀数字和剩余一个不受限制的数字。若两个条件同时成立，则 $d_1d_2d_3=d_4d_5d_6=d_5d_6d_7$ ，迫使所有数字相同，所以交集有 $10$ 个。由容斥原理，答案为 $10,000+10,000-10=19,990$ ，正确答案是 C。

Each matching condition gives $10^4=10,000$ numbers: choose the three prefix digits and the one unconstrained remaining digit. If both hold, then $d_1d_2d_3=d_4d_5d_6=d_5d_6d_7,$ forcing all digits equal, so there are $10$ overlaps. Inclusion-exclusion gives $10,000+10,000-10=19,990,$ so C is correct.

1998 AMC 12 第 24 题

答案：C

难度评级：1800

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题