1964 AMC 12 第 24 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

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1964 AMC 12 第 24 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

24.

设 $y=(x-a)^2+(x-b)^2$ ，其中 $a$ 、 $b$ 为常数。当 $x$ 取何值时， $y$ 最小？

Let $y=(x-a)^2+(x-b)^2,$ $a,$ $b$ constants. For what value of $x$ is $y$ a minimum?

$\dfrac{a+b}{2}$

$a+b$

$\sqrt{ab}$

$\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$

$\dfrac{a+b}{2ab}$

答案：A

知识点：二次方程配方法最优化

难度评级：1140

小提示：

展开并合并含 $x$ 的项

Expand and collect the terms in $x$

大提示：

配方或使用顶点公式

Complete the square or use the vertex formula

解答：

展开并配方得 $y=2\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2+\frac{(a-b)^2}{2}\text{。}$ 当 $x=\frac{a+b}{2}$ 时，平方项最小。

因此，正确答案是 A。

Expanding and completing the square gives $y=2\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2+\frac{(a-b)^2}{2}.$ The squared term is minimized at $x=\frac{a+b}{2}.$

Therefore, the correct answer is A.

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