Question

凸四边形 $ABCD$ 满足 $AB = 18$ 、 $\angle A = 60^\circ$ ，且 $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ 。四条边的长度按某种顺序构成一个等差数列，并且边 $AB$ 是最大长度的边。另一条边的长度为 $a$ 。所有可能的 $a$ 值之和是多少？

Convex quadrilateral $ABCD$ has $AB = 18,$ $\angle A = 60^\circ,$ and $\overline{AB} \parallel \overline{CD}.$ In some order, the lengths of the four sides form an arithmetic progression, and side $AB$ is a side of maximum length. The length of another side is $a.$ What is the sum of all possible values of $a?$

$24$

$42$

$60$

$66$

$84$

答案：E

知识点：梯形等差数列分类讨论

难度评级：2520

小提示：

因为 $AB = 18$ 是最大值，四边长为 $18, 18 - d, 18 - 2d, 18 - 3d$ ；令 $A = (0,0)$ ， $B = (18,0)$ ，并把 $D$ 放在 $60^\circ$ 方向上

With $AB = 18$ the maximum, the four sides are $18, 18 - d, 18 - 2d, 18 - 3d;$ place $A = (0,0),$ $B = (18,0),$ and $D$ at angle $60^\circ$

大提示：

对三条较短边分配给 $BC, CD, DA$ 的每种方式，要求 $\overline{CD}$ 水平并解出 $d$ ；还要包括公差 $d = 0$ 的情形

For each assignment of the three smaller lengths to $BC, CD, DA,$ impose that $\overline{CD}$ is horizontal and solve for $d;$ also include common difference $d = 0$

解答：

因为 $AB = 18$ 是最大边，四条边为 $18, 18 - d, 18 - 2d, 18 - 3d$ 。取 $A = (0,0)$ ， $B = (18,0)$ ， $D = \left(\tfrac{m}{2}, \tfrac{m\sqrt3}{2}\right)$ ，其中 $m=DA$ ，令 $n=CD$ 且 $\ell=BC$ 。则 $C=(\tfrac m2+n,\tfrac{m\sqrt3}{2})$ ，所以 $\begin{aligned} \ell^2&=m^2+(18-n)^2 \\ &\quad {}-m(18-n) \end{aligned}\text{。}$

令 $u_j=18-jd$ ，其中 $j=1,2,3$ 。将 $(u_1,u_2,u_3)$ 的排列 $123,132,213,231,312,321$ 依次代入 $(m,n,\ell)$ ，得到非零候选值 $d=18,2,9,5,6,6$ ，因为 $u_3$ 为正要求 $d<6$ ，所以只留下 $d=2$ 和 $d=5$ 。情形 $d=0$ 也给出一个有效的菱形。

因此边长集合为 $\{18,16,14,12\}$ ， $\{18,13,8,3\}$ ，和 $\{18,18,18,18\}$ 。

非 $AB$ 边长的可能值为 $\{3, 8, 12, 13, 14, 16, 18\}$ ，其和为 $84$ 。

因此，正确答案是 E。

Since $AB = 18$ is the largest, the four sides are $18, 18 - d, 18 - 2d, 18 - 3d.$ Placing $A = (0,0),$ $B = (18,0),$ and $D = \left(\tfrac{m}{2}, \tfrac{m\sqrt3}{2}\right)$ with $m=DA,$ let $n=CD$ and $\ell=BC.$ Then $C=(\tfrac m2+n,\tfrac{m\sqrt3}{2}),$ so $\begin{aligned} \ell^2&=m^2+(18-n)^2 \\ &\quad {}-m(18-n). \end{aligned}$

Write $u_j=18-jd$ for $j=1,2,3.$ Substituting the permutations $123,132,213,231,312,321$ of $(u_1,u_2,u_3)$ for $(m,n,\ell)$ gives the nonzero candidates $d=18,2,9,5,6,6,$ respectively. Positivity of $u_3$ requires $d<6,$ leaving only $d=2$ and $d=5.$ The case $d=0$ also gives a valid rhombus.

Thus the side sets are $\{18,16,14,12\},$ $\{18,13,8,3\},$ and $\{18,18,18,18\}.$

The possible values of a non- $AB$ side length are $\{3, 8, 12, 13, 14, 16, 18\},$ whose sum is $84.$

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12A Fall 第 24 题

答案：E

难度评级：2520

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题