Question

给定数列 $10^{\frac{1}{11}}$ ， $10^{\frac{2}{11}}$ ， $10^{\frac{3}{11}}$ ， $\ldots$ ， $10^{\frac{n}{11}}$ ，使该数列前 $n$ 项之积大于 $100{,}000$ 的最小 $n$ 值为：

Given the sequence $10^{\frac{1}{11}},$ $10^{\frac{2}{11}},$ $10^{\frac{3}{11}},$ $\ldots,$ $10^{\frac{n}{11}},$ the smallest value of $n$ such that the product of the first $n$ members of this sequence exceeds $100{,}000$ is:

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

答案：E

知识点：指数求和不等式

难度评级：1530

小提示：

将乘积中各项的指数相加

Add the exponents in the product

大提示：

要求 $\frac{n(n+1)}{22}\gt5$

Require $\frac{n(n+1)}{22}\gt5$

解答：

该乘积为 $10^{\frac{1+2+\cdots+n}{11}} =10^{\frac{n(n+1)}{22}}\text{。}$ 要大于 $100{,}000=10^5$ ，需有 $n(n+1)\gt110$ 。当 $n=10$ 时恰好相等，而 $n=11$ 时超过它。

因此，正确答案是 E。

The product is $10^{\frac{1+2+\cdots+n}{11}} =10^{\frac{n(n+1)}{22}}.$ To exceed $100{,}000=10^5,$ we need $n(n+1)\gt110.$ At $n=10$ equality holds, while $n=11$ exceeds it.

Therefore, the correct answer is E.

1965 AMC 12 第 24 题

答案：E

难度评级：1530

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题