Question

方程 $x+\sqrt{x-2}=4$ 有：

The equation $x+\sqrt{x-2}=4$ has:

$2$ 个实根

$2$ real roots

$1$ 个实根和 $1$ 个虚根

$1$ real and $1$ imaginary root

$2$ 个虚根

$2$ imaginary roots

没有根

No roots

$1$ 个实根

$1$ real root

答案：E

知识点：根式二次方程换元法

难度评级：1470

小提示：

平方前先将根式单独置于一边

Isolate the square root before squaring

大提示：

将所得二次方程的每个根代回原方程检验

Check every root of the resulting quadratic in the original equation

解答：

将根式单独置于一边并平方，得到 $\begin{aligned} \sqrt{x-2}&=4-x,\\ x-2&=(4-x)^2,\\ x^2-9x+18&=0 \end{aligned}\text{。}$ 所得二次方程的根为 $3$ 和 $6$ 。其中 $3$ 满足原方程，但将后者代回原方程得 $6+\sqrt4=8$ ，所以 $6$ 是增根。

因此，正确答案是 E。

Isolating and squaring gives $\begin{aligned} \sqrt{x-2}&=4-x,\\ x-2&=(4-x)^2,\\ x^2-9x+18&=0. \end{aligned}$ The quadratic roots are $3$ and $6.$ The value $3$ satisfies the original equation, but $6$ gives $6+\sqrt4=8,$ so it is extraneous.

Thus, the correct answer is E.

1950 AMC 12 第 24 题

答案：E

难度评级：1470

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题