Question

若 $\log_{2x}216=x$ ，其中 $x$ 为实数，则 $x$ 是：

If $\log_{2x}216=x,$ where $x$ is real, then $x$ is:

既不是完全平方数也不是完全立方数的整数

a non-square, non-cube integer

既不是完全平方数也不是完全立方数的非整数有理数

a non-square, non-cube, non-integral rational number

无理数

an irrational number

完全平方数

a perfect square

完全立方数

a perfect cube

答案：A

知识点：对数指数函数

难度评级：1280

小提示：

将对数方程化为 $(2x)^x=216$

Convert the logarithmic equation to $(2x)^x=216$

大提示：

利用 $216=6^3$ 看出一个实数解

Use $216=6^3$ to recognize a real solution

解答：

该方程等价于 $(2x)^x=216\text{。}$ 由于 $216=6^3$ ， $x=3$ 满足方程。为说明它是唯一允许的实数解，注意对数的底要求 $x>0$ 且 $2x\ne1$ ；当 $0\lt x\lt\frac{1}{2}$ 时， $x\ln(2x)\lt0$ ；而当 $x>\frac{1}{2}$ 时，函数 $x\ln(2x)$ 严格递增。因此 $x=3$ 是一个既非完全平方数又非完全立方数的整数。

因此，正确答案是 A。

The equation is equivalent to $(2x)^x=216.$ Since $216=6^3,$ $x=3$ satisfies the equation. To see it is the only admissible real solution, note that the base requires $x>0$ and $2x\ne1;$ on $0\lt x\lt\frac{1}{2},$ $x\ln(2x)\lt0,$ while for $x>\frac{1}{2}$ the function $x\ln(2x)$ is strictly increasing. Thus $x=3,$ a non-square, non-cube integer.

Therefore, the correct answer is A.

1960 AMC 12 第 24 题

答案：A

难度评级：1280

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题