Question

设 $a$ ， $b$ ， $c$ ，和 $d$ 是满足以下所有关系的正整数。

$\begin{aligned} abcd &= 2^6\cdot 3^9\cdot 5^7\\ \operatorname{lcm}(a,b) &= 2^3\cdot 3^2\cdot 5^3\\ \operatorname{lcm}(a,c) &= 2^3\cdot 3^3\cdot 5^3\\ \operatorname{lcm}(a,d) &= 2^3\cdot 3^3\cdot 5^3\\ \operatorname{lcm}(b,c) &= 2^1\cdot 3^3\cdot 5^2\\ \operatorname{lcm}(b,d) &= 2^2\cdot 3^3\cdot 5^2\\ \operatorname{lcm}(c,d) &= 2^2\cdot 3^3\cdot 5^2 \end{aligned}$

$\gcd(a,b,c,d)$ 是多少？

Suppose that $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are positive integers satisfying all of the following relations.

$\begin{aligned} abcd &= 2^6\cdot 3^9\cdot 5^7\\ \operatorname{lcm}(a,b) &= 2^3\cdot 3^2\cdot 5^3\\ \operatorname{lcm}(a,c) &= 2^3\cdot 3^3\cdot 5^3\\ \operatorname{lcm}(a,d) &= 2^3\cdot 3^3\cdot 5^3\\ \operatorname{lcm}(b,c) &= 2^1\cdot 3^3\cdot 5^2\\ \operatorname{lcm}(b,d) &= 2^2\cdot 3^3\cdot 5^2\\ \operatorname{lcm}(c,d) &= 2^2\cdot 3^3\cdot 5^2 \end{aligned}$

What is $\gcd(a,b,c,d)?$

$30$

$45$

$3$

$15$

$6$

答案：C

知识点：最小公倍数最大公约数质因数分解

难度评级：2270

小提示：

每次只处理一个质数； $\gcd$ 取最小指数， $\operatorname{lcm}$ 取最大指数

Work one prime at a time; $\gcd$ uses the minimum exponent and $\operatorname{lcm}$ the maximum

大提示：

对每个质数，用最大值（最小公倍数）条件和总和（乘积）条件确定四个指数，再取最小值

For each prime, pin down the four exponents from the max (lcm) and total (product) conditions, then take the minimum

解答：

对每个质数分别处理 $a,b,c,d$ 中的指数。

质数 $2$ （总指数 $6$ ）： $\max(b,c)=1$ 强制 $a=3$ ；然后 $b+c+d=3$ ，且 $\max(b,d)=\max(c,d)=2$ ，得 $d=2$ 且 $\{b,c\}=\{0,1\}$ ，所以最小指数为 $0$ 。

质数 $3$ （总指数 $9$ ）： $\max(a,b)=2$ ，而其他最小公倍数都等于 $3$ ，强制 $c=d=3$ ；然后 $a+b=3$ ，且 $\max(a,b)=2$ ，得 $\{a,b\}=\{1,2\}$ ，所以最小指数为 $1$ 。

质数 $5$ （总指数 $7$ ）： $\max(a,b)=3$ ，且 $\max(b,c)$ ， $\max(b,d),\max(c,d)=2$ ，强制 $a=3$ ；然后 $b+c+d=4$ ，每个都 $\le 2$ ，且两两最大值为 $2$ ，所以其中两个等于 $2$ ，一个等于 $0$ ，最小指数为 $0$ 。

因此 $\gcd(a,b,c,d)=2^0\cdot 3^1\cdot 5^0=3$ 。

因此，正确答案是 C。

Handle each prime separately using the exponents of $a,b,c,d.$

Prime $2$ (total $6$ ): $\max(b,c)=1$ forces $a=3;$ then $b+c+d=3$ with $\max(b,d)=\max(c,d)=2$ gives $d=2$ and $\{b,c\}=\{0,1\},$ so the minimum exponent is $0.$

Prime $3$ (total $9$ ): $\max(a,b)=2$ with the other lcms equal to $3$ forces $c=d=3;$ then $a+b=3$ with $\max(a,b)=2$ gives $\{a,b\}=\{1,2\},$ so the minimum is $1.$

Prime $5$ (total $7$ ): $\max(a,b)=3$ with $\max(b,c),$ $\max(b,d),\max(c,d)=2$ forces $a=3;$ then $b+c+d=4$ with each $\le 2$ and pairwise maxima $2$ gives two of them equal to $2$ and one equal to $0,$ so the minimum is $0.$

Therefore $\gcd(a,b,c,d)=2^0\cdot 3^1\cdot 5^0=3.$

Thus, the correct answer is C.

2023 AMC 12B 第 24 题

答案：C

难度评级：2270

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题