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2009 AMC 12B 第 24 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

24.

在 [0,π][0, \pi] 中，有多少个 xx 的值满足 sin⁡−1(sin⁡6x)=cos⁡−1(cos⁡x)\sin^{-1}(\sin 6x) = \cos^{-1}(\cos x)？

注：函数 sin⁡−1=arcsin⁡\sin^{-1} = \arcsin 和 cos⁡−1=arccos⁡\cos^{-1} = \arccos 表示反三角函数。

For how many values of xx in [0,π][0, \pi] is sin⁡−1(sin⁡6x)=cos⁡−1(cos⁡x)?\sin^{-1}(\sin 6x) = \cos^{-1}(\cos x)?

Note: The functions sin⁡−1=arcsin⁡\sin^{-1} = \arcsin and cos⁡−1=arccos⁡\cos^{-1} = \arccos denote inverse trigonometric functions.

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答案：B
知识点：三角学分类讨论
难度评级：2460
小提示：

在 [0,π], cos⁡−1(cos⁡x)=x[0, \pi],\ \cos^{-1}(\cos x) = x，而左边的值在 [−π2,π2][-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}] 中，所以任何解都需满足 x∈[0,π2]x \in [0, \tfrac{\pi}{2}]。

On [0,π], cos⁡−1(cos⁡x)=x,[0, \pi],\ \cos^{-1}(\cos x) = x, and the left side lies in [−π2,π2],[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}], so any solution needs x∈[0,π2]x \in [0, \tfrac{\pi}{2}]

大提示：

因为 sin⁡\sin 在 [−π2,π2][-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}] 上一一对应，方程在 [0,π2][0, \tfrac{\pi}{2}] 上化为 sin⁡6x=sin⁡x\sin 6x = \sin x。

Since sin⁡\sin is one-to-one on [−π2,π2],[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}], the equation reduces to sin⁡6x=sin⁡x\sin 6x = \sin x on [0,π2][0, \tfrac{\pi}{2}]

解答：

在 [0,π], cos⁡−1(cos⁡x)=x[0, \pi],\ \cos^{-1}(\cos x) = x。因为 sin⁡−1\sin^{-1} 的值域是 [−π2,π2][-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]，任何解都必须满足 x∈[0,π2]x \in [0, \tfrac{\pi}{2}]，此时方程化为 sin⁡6x=sin⁡x\sin 6x = \sin x。

方程 sin⁡6x=sin⁡x\sin6x=\sin x 成立，当且仅当 6x=x+2kπ,或6x=π−x+2kπ \begin{aligned} 6x&=x+2k\pi, \\ \text{或}\qquad 6x&=\pi-x+2k\pi \end{aligned} 对某个整数 kk 成立。

第一族给出 x=2kπ5x=\tfrac{2k\pi}{5}，在区间中贡献 00 和 2π5\tfrac{2\pi}{5}。第二族给出 x=(2k+1)π7x=\tfrac{(2k+1)\pi}{7}，贡献 π7\tfrac\pi7 和 3π7\tfrac{3\pi}{7}。因此在 [0,π2][0,\tfrac\pi2] 中共有 44 个解。

所以正确答案是 B。

On [0,π], cos⁡−1(cos⁡x)=x.[0, \pi],\ \cos^{-1}(\cos x) = x. Since sin⁡−1\sin^{-1} takes values in [−π2,π2],[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}], any solution requires x∈[0,π2],x \in [0, \tfrac{\pi}{2}], where the equation becomes sin⁡6x=sin⁡x.\sin 6x = \sin x.

The equation sin⁡6x=sin⁡x\sin6x=\sin x holds exactly when 6x=x+2kπ,or6x=π−x+2kπ \begin{aligned} 6x&=x+2k\pi, \\ \text{or}\qquad 6x&=\pi-x+2k\pi \end{aligned} for some integer k.k.

The first family gives x=2kπ5,x=\tfrac{2k\pi}{5}, contributing 00 and 2π5.\tfrac{2\pi}{5}. The second gives x=(2k+1)π7,x=\tfrac{(2k+1)\pi}{7}, contributing π7\tfrac\pi7 and 3π7.\tfrac{3\pi}{7}. Hence there are 44 solutions in [0,π2].[0,\tfrac\pi2].

Thus, the correct answer is B.

第 23 题#23
完整试卷
第 25 题#25

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