Question

选择正整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，使得 $a \lt b \lt c$ ，且方程组 $2x + y = 2003$ 和 $\begin{aligned} &y = |x - a| + |x - b| \\ &\quad {}+ |x - c| \end{aligned}$ 恰有一个解。 $c$ 的最小值是多少？

Positive integers $a,$ $b,$ and $c$ are chosen so that $a \lt b \lt c,$ and the system of equations $2x + y = 2003$ and $\begin{aligned} &y = |x - a| + |x - b| \\ &\quad {}+ |x - c| \end{aligned}$ has exactly one solution. What is the minimum value of $c?$

$668$

$669$

$1002$

$2003$

$2004$

答案：C

知识点：绝对值方程组

难度评级：2160

小提示：

$y = |x-a| + |x-b| + |x-c|$ 的图像是分段线性的，斜率为 $-3, -1, 1, 3$

The graph of $y = |x-a| + |x-b| + |x-c|$ is piecewise linear with slopes $-3, -1, 1, 3$

大提示：

直线斜率为 $-2$ ；恰有一个交点要求它经过 $x = a$ 处的折点，那里 $y = b + c - 2a$

The line has slope $-2;$ a single intersection forces it to touch the corner at $x = a,$ where $y = b + c - 2a$

解答：

函数 $y = |x-a| + |x-b| + |x-c|$ 是分段线性的，斜率依次为 $-3, -1, 1, 3$ ，折点在 $x = a, b, c$ 。直线 $2x + y = 2003$ 的斜率为 $-2$ 。

斜率为 $-2$ 的直线与该图像恰好相交一次，当且仅当它经过最左边的折点 $(a,\, b + c - 2a)$ ，此处图像斜率从 $-3$ 跳到 $-1$ 。代入得到 $2a + (b + c - 2a) = 2003\text{，}$ 所以 $b + c = 2003$ 。

因为 $b \lt c$ ，必须有 $c \gt \dfrac{2003}{2}$ ，所以 $c \ge 1002$ 。这个下界可以达到：取 $a = 1$ ， $b = 1001$ ，和 $c = 1002$ 。因此最小值为 $1002$ 。

所以正确答案是 C。

The function $y = |x-a| + |x-b| + |x-c|$ is piecewise linear with slopes $-3, -1, 1, 3$ and corners at $x = a, b, c.$ The line $2x + y = 2003$ has slope $-2.$

A line of slope $-2$ meets this graph exactly once only if it passes through the leftmost corner $(a,\, b + c - 2a),$ where the graph’s slope jumps from $-3$ to $-1.$ Substituting, $2a + (b + c - 2a) = 2003,$ so $b + c = 2003.$

Since $b \lt c,$ we need $c \gt \dfrac{2003}{2},$ so $c \ge 1002.$ This bound is attained: take $a = 1,$ $b = 1001,$ and $c = 1002.$ Therefore the minimum is $1002.$

Thus, the correct answer is C.

2003 AMC 12B 第 24 题

答案：C

难度评级：2160

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题