Question

若一个多边形不自交，则称其为“简单”多边形。简单四边形 $ABCD$ 的边 $AB$ 、 $BC$ 和 $CD$ 的长度分别为 $4$ 、 $5$ 和 $20$ 。若顶点 $B$ 和 $C$ 处的内角均为钝角，且 $\sin C=-\cos B=\frac35$ ，则边 $AD$ 的长度为多少？

A polygon is called “simple” if it is not self-intersecting. Sides $AB,$ $BC,$ and $CD$ of simple quadrilateral $ABCD$ have lengths $4,$ $5,$ and $20,$ respectively. If vertex angles $B$ and $C$ are obtuse and $\sin C=-\cos B=\frac35,$ then side $AD$ has length

$24$

$24.5$

$24.6$

$24.8$

$25$

答案：E

知识点：坐标几何三角学距离公式

难度评级：2040

小提示：

取 $B=(0,0)$ 、 $C=(5,0)$ ，再利用钝角所确定的符号

Place $B=(0,0)$ and $C=(5,0)$ , then use the signs forced by the obtuse angles

大提示：

根据 $3$ - $4$ - $5$ 的比例确定 $A$ 与 $D$ 的坐标

Determine coordinates for $A$ and $D$ from the $3$ - $4$ - $5$ ratios

解答：

取 $B=(0,0)$ 和 $C=(5,0)$ 。因为 $B$ 为钝角且 $-\cos B=\frac{3}{5}$ ，可取 $\begin{aligned} A&=4(-\frac{3}{5},\frac{4}{5})\\ &=(-\frac{12}{5},\frac{16}{5}) \end{aligned}\text{。}$ 简单四边形的构型以及 $C$ 处的钝角给出 $\begin{aligned} D&=C+20(\frac{4}{5},\frac{3}{5})\\ &=(21,12) \end{aligned}\text{。}$ 因此， $\begin{aligned} AD&=\sqrt{\begin{gathered} (21+\frac{12}{5})^2\\ {}+(12-\frac{16}{5})^2 \end{gathered}}\\ &=\sqrt{(\frac{117}{5})^2+(\frac{44}{5})^2}\\ &=25 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Put $B=(0,0)$ and $C=(5,0).$ Since $B$ is obtuse and $-\cos B=\frac{3}{5},$ we may take $\begin{aligned} A&=4(-\frac{3}{5},\frac{4}{5})\\ &=(-\frac{12}{5},\frac{16}{5}). \end{aligned}$ The simple configuration and the obtuse angle at $C$ give $\begin{aligned} D&=C+20(\frac{4}{5},\frac{3}{5})\\ &=(21,12). \end{aligned}$ Thus $\begin{aligned} AD&=\sqrt{\begin{gathered} (21+\frac{12}{5})^2\\ {}+(12-\frac{16}{5})^2 \end{gathered}}\\ &=\sqrt{(\frac{117}{5})^2+(\frac{44}{5})^2}\\ &=25. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

1979 AMC 12 第 24 题

答案：E

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题