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2001 AMC 12 第 24 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

24.

在三角形 ABCABC 中，∠ABC=45∘\angle ABC = 45^\circ。点 DD 在 BC‾\overline{BC} 上，使得 2⋅BD=CD2 \cdot BD = CD，且 ∠DAB=15∘\angle DAB = 15^\circ。求 ∠ACB\angle ACB。

In triangle ABC,ABC, ∠ABC=45∘.\angle ABC = 45^\circ. Point DD is on BC‾\overline{BC} so that 2⋅BD=CD2 \cdot BD = CD and ∠DAB=15∘.\angle DAB = 15^\circ. Find ∠ACB.\angle ACB.

54∘54^\circ

60∘60^\circ

72∘72^\circ

75∘75^\circ

90∘90^\circ

答案：D
知识点：导角等腰三角形特殊直角三角形
难度评级：2110
小提示：

外角关系给出 ∠ADC\angle ADC =∠DAB+∠ABD= \angle DAB + \angle ABD =15∘+45∘= 15^\circ + 45^\circ =60∘= 60^\circ。

The exterior angle gives ∠ADC\angle ADC =∠DAB+∠ABD= \angle DAB + \angle ABD =15∘+45∘= 15^\circ + 45^\circ =60∘= 60^\circ

大提示：

从 CC 向直线 ADAD 作垂线，垂足为 EE；则 △CDE\triangle CDE 是 3030-6060-9090 三角形，且 DE=12CD=BDDE = \tfrac{1}{2}CD = BD

Drop a perpendicular from CC to line ADAD at E;E; then △CDE\triangle CDE is 3030-6060-9090 with DE=12CD=BDDE = \tfrac{1}{2}CD = BD

解答：

设 EE 为从 CC 到直线 ADAD 的垂足。由 △ADB\triangle ADB 的外角可得 ∠ADC=15∘+45∘=60∘\angle ADC = 15^\circ + 45^\circ = 60^\circ，所以 △CDE\triangle CDE 是一个 3030-6060-9090 三角形，且 DE=12CD=BDDE = \tfrac{1}{2}CD = BD。

因此 △BDE\triangle BDE 是等腰三角形，∠EBD=∠BED=30∘\angle EBD = \angle BED = 30^\circ，又因为 ∠ECB=30∘\angle ECB = 30^\circ，所以 △BEC\triangle BEC 是等腰三角形，BE=ECBE = EC。

同时 ∠ABE\angle ABE =45∘−30∘= 45^\circ - 30^\circ =15∘= 15^\circ =∠EAB= \angle EAB，所以 △ABE\triangle ABE 是等腰三角形，AE=BEAE = BE。因此 AE=BE=ECAE = BE = EC，使得直角三角形 AECAEC 为等腰直角三角形，∠ECA=45∘\angle ECA = 45^\circ。

所以 ∠ACB\angle ACB =∠ECA+∠ECD= \angle ECA + \angle ECD =45∘+30∘= 45^\circ + 30^\circ =75∘= 75^\circ。

因此，正确答案是 D。

Let EE be the foot of the perpendicular from CC to line AD.AD. The exterior angle of △ADB\triangle ADB gives ∠ADC=15∘+45∘=60∘,\angle ADC = 15^\circ + 45^\circ = 60^\circ, so △CDE\triangle CDE is a 3030-6060-9090 triangle with DE=12CD=BD.DE = \tfrac{1}{2}CD = BD.

Then △BDE\triangle BDE is isosceles with ∠EBD=∠BED=30∘,\angle EBD = \angle BED = 30^\circ, and since ∠ECB=30∘\angle ECB = 30^\circ too, △BEC\triangle BEC is isosceles with BE=EC.BE = EC.

Also ∠ABE\angle ABE =45∘−30∘= 45^\circ - 30^\circ =15∘= 15^\circ =∠EAB,= \angle EAB, so △ABE\triangle ABE is isosceles with AE=BE.AE = BE. Hence AE=BE=EC,AE = BE = EC, making right triangle AECAEC isosceles with ∠ECA=45∘.\angle ECA = 45^\circ.

Therefore ∠ACB\angle ACB =∠ECA+∠ECD= \angle ECA + \angle ECD =45∘+30∘= 45^\circ + 30^\circ =75∘.= 75^\circ.

Thus, the correct answer is D.

第 23 题#23
完整试卷
第 25 题#25

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