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2013 AMC 12B 第 24 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

24.

设 ABCABC 是一个三角形，MM 是 ACAC 的中点，CNCN 是 ∠ACB\angle ACB 的角平分线，NN 在 ABAB 上。设 XX 是中线 BMBM 与角平分线 CNCN 的交点。另外 △BXN\triangle BXN 是等边三角形，且 AC=2AC = 2。BN2BN^2 是多少？

Let ABCABC be a triangle where MM is the midpoint of AC,AC, and CNCN is the angle bisector of ∠ACB\angle ACB with NN on AB.AB. Let XX be the intersection of the median BMBM and the bisector CN.CN. In addition △BXN\triangle BXN is equilateral and AC=2.AC = 2. What is BN2?BN^2?

10−627\dfrac{10 - 6\sqrt2}{7}

29\dfrac{2}{9}

52−338\dfrac{5\sqrt2 - 3\sqrt3}{8}

26\dfrac{\sqrt2}{6}

33−45\dfrac{3\sqrt3 - 4}{5}

答案：A
知识点：角平分线等边三角形余弦定理相似
难度评级：2600
小提示：

令 α=∠ACN\alpha = \angle ACN、x=BNx = BN。由等边三角形可得 ∠BXC=∠CNA=120∘\angle BXC = \angle CNA = 120^\circ。

Let α=∠ACN\alpha = \angle ACN and x=BN;x = BN; the equilateral triangle gives ∠BXC=∠CNA=120∘\angle BXC = \angle CNA = 120^\circ

大提示：

由相似三角形可得 BC=2BC = \sqrt2 和 CX=(2+1)xCX = (\sqrt2 + 1)x，再在 △BCX\triangle BCX 中应用余弦定理。

Similar triangles yield BC=2BC = \sqrt2 and CX=(2+1)x;CX = (\sqrt2 + 1)x; then apply the Law of Cosines in △BCX\triangle BCX

解答：

令 α=∠ACN=∠NCB\alpha = \angle ACN = \angle NCB、x=BNx = BN。由于 △BXN\triangle BXN 是等边三角形，所以 ∠BXC=∠CNA=120∘\angle BXC = \angle CNA = 120^\circ，由此得到 △ABC∼△BMC\triangle ABC \sim \triangle BMC 和 △ANC∼△BXC\triangle ANC \sim \triangle BXC。由第一组相似关系，并利用 MC=12AC=1MC = \tfrac12 AC = 1，可得 BC2=MCBC\dfrac{BC}{2} = \dfrac{MC}{BC}，所以 BC=2BC = \sqrt2。由第二组相似关系可得 CX=(2+1)xCX = (\sqrt2 + 1)x。在 △BCX\triangle BCX 中，对 ∠BXC=120∘\angle BXC = 120^\circ 应用余弦定理，得到 2=x22 = x^2 +(2+1)2x2+ (\sqrt2 + 1)^2 x^2 +(2+1)x2+ (\sqrt2 + 1)x^2 =(5+32)x2= (5 + 3\sqrt2)x^2。因此 BN2=x2BN^2 = x^2 =25+32= \dfrac{2}{5 + 3\sqrt2} =10−627= \dfrac{10 - 6\sqrt2}{7}。所以正确答案是 A。

Let α=∠ACN=∠NCB\alpha = \angle ACN = \angle NCB and x=BN.x = BN. Since △BXN\triangle BXN is equilateral, ∠BXC=∠CNA=120∘,\angle BXC = \angle CNA = 120^\circ, which gives △ABC∼△BMC\triangle ABC \sim \triangle BMC and △ANC∼△BXC.\triangle ANC \sim \triangle BXC. From the first, with MC=12AC=1,MC = \tfrac12 AC = 1, we get BC2=MCBC,\dfrac{BC}{2} = \dfrac{MC}{BC}, so BC=2.BC = \sqrt2. From the second, CX=(2+1)x.CX = (\sqrt2 + 1)x. The Law of Cosines in △BCX\triangle BCX with ∠BXC=120∘\angle BXC = 120^\circ gives 2=x22 = x^2 +(2+1)2x2+ (\sqrt2 + 1)^2 x^2 +(2+1)x2+ (\sqrt2 + 1)x^2 =(5+32)x2.= (5 + 3\sqrt2)x^2. Hence BN2=x2BN^2 = x^2 =25+32= \dfrac{2}{5 + 3\sqrt2} =10−627.= \dfrac{10 - 6\sqrt2}{7}. Thus, the correct answer is A.

第 23 题#23
完整试卷
第 25 题#25

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