2013 AMC 12B 真题与在线限时测验

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1:15:00

1.

在一月的某一天，内布拉斯加州 Lincoln 的最高气温比最低气温高 $16$ 度，最高气温与最低气温的平均值是 $3^\circ$ 。这一天 Lincoln 的最低气温是多少度？

On a particular January day, the high temperature in Lincoln, Nebraska, was $16$ degrees higher than the low temperature, and the average of the high and low temperatures was $3^\circ.$ In degrees, what was the low temperature in Lincoln that day?

$-13$

$-8$

$-5$

$-3$

$11$

答案：C

知识点：平均数一次方程

难度评级：920

小提示：

最高和最低相差 $16$ ，所以它们各自离平均值 $8$ 度。

The high and low differ by $16,$ so each is $8$ away from their average

大提示：

最低气温比平均值 $3$ 低 $8$ 度。

The low temperature is $8$ below the average of $3$

解答：

最高气温比最低气温高 $16$ ，所以最低气温比平均值低 $8$ 。平均值为 $3^\circ$ ，因此最低气温为 $3 - 8 = -5^\circ$ 。所以正确答案是 C。

The high exceeds the low by $16,$ so the low is $8$ below the average. Since the average is $3^\circ,$ the low temperature is $3 - 8 = -5^\circ.$ Thus, the correct answer is C.

2.

Green 先生通过沿着长方形花园的两条边走路来测量花园，发现它是 $15$ 步乘 $20$ 步。他每一步长 $2$ 英尺。Green 先生预计花园每平方英尺能产半磅土豆。他预计花园能产多少磅土豆？

Mr. Green measures his rectangular garden by walking two of the sides and finds that it is $15$ steps by $20$ steps. Each of Mr. Green’s steps is $2$ feet long. Mr. Green expects a half a pound of potatoes per square foot from his garden. How many pounds of potatoes does Mr. Green expect from his garden?

$600$

$800$

$1000$

$1200$

$1400$

答案：A

知识点：单位换算面积速率

难度评级：1020

小提示：

先把步数换算成英尺：每步 $2$ 英尺。

Convert steps to feet first: each step is $2$ feet

大提示：

将平方英尺面积乘以每平方英尺 $\dfrac12$ 磅。

Multiply the area in square feet by $\dfrac12$ pound per square foot

解答：

花园的长和宽分别为 $2\cdot 15 = 30$ 英尺和 $2\cdot 20 = 40$ 英尺，面积为 $1200$ 平方英尺。每平方英尺能产半磅土豆，所以预计产量为 $\tfrac12\cdot 1200 = 600$ 磅。正确答案是 A。

The garden is $2\cdot 15 = 30$ feet by $2\cdot 20 = 40$ feet, an area of $1200$ square feet. At half a pound per square foot, Mr. Green expects $\tfrac12\cdot 1200 = 600$ pounds. Thus, the correct answer is A.

3.

从 $3$ 数到 $201$ 时， $53$ 是数到的第 $51$ 个数。从 $201$ 倒数到 $3$ 时， $53$ 是数到的第 $n$ 个数。 $n$ 是多少？

When counting from $3$ to $201,$ $53$ is the $51$ st number counted. When counting backwards from $201$ to $3,$ $53$ is the $n$ th number counted. What is $n?$

$146$

$147$

$148$

$149$

$150$

答案：D

知识点：区间内整数计数

难度评级：1100

小提示：

倒数时， $201$ 是第 $1$ 个数， $200$ 是第 $2$ 个数，依此类推。

Counting backwards, $201$ is the $1$ st number, $200$ is the $2$ nd, and so on

大提示：

数值 $x$ 是第 $(202-x)$ 个被数到的数。

The value $x$ is the $(202-x)$ th number counted

解答：

从 $201$ 往下数时，数值 $x$ 是第 $(202-x)$ 个数。因此 $53$ 是第 $(202-53) = 149$ 个数。正确答案是 D。

Counting down from $201,$ the value $x$ is the $(202-x)$ th number. So $53$ is the $(202-53) = 149$ th number. Thus, the correct answer is D.

4.

Ray 的车平均每加仑汽油行驶 $40$ 英里，Tom 的车平均每加仑汽油行驶 $10$ 英里。Ray 和 Tom 各自行驶相同的英里数。两辆车合起来的每加仑英里数是多少？

Ray’s car averages $40$ miles per gallon of gasoline, and Tom’s car averages $10$ miles per gallon of gasoline. Ray and Tom each drive the same number of miles. What is the cars’ combined rate of miles per gallon of gasoline?

$10$

$16$

$25$

$30$

$40$

答案：B

知识点：速率比与比例

难度评级：1220

小提示：

合并油耗是总英里数除以总加仑数，不是两个油耗率的普通平均。

Combined mileage is total miles divided by total gallons, not the average of the two rates

大提示：

若每人行驶 $D$ 英里，耗油分别为 $\dfrac{D}{40}$ 与 $\dfrac{D}{10}$ 加仑。

If each drives $D$ miles, the gallons used are $\dfrac{D}{40}$ and $\dfrac{D}{10}$

解答：

若每人行驶 $D$ 英里，两人共行驶 $2D$ 英里，耗油量为 $\dfrac{D}{40}+\dfrac{D}{10} = \dfrac{D}{8}$ 加仑。因此合并油耗率为 $\dfrac{2D}{\frac{D}{8}} = 16$ 英里每加仑。正确答案是 B。

If each drives $D$ miles, together they cover $2D$ miles using $\dfrac{D}{40}+\dfrac{D}{10} = \dfrac{D}{8}$ gallons. The combined rate is $\dfrac{2D}{\frac{D}{8}} = 16$ miles per gallon. Thus, the correct answer is B.

5.

$33$ 名五年级学生的平均年龄是 $11$ 。他们的 $55$ 位家长的平均年龄是 $33$ 。这些家长和五年级学生全体的平均年龄是多少？

The average age of $33$ fifth-graders is $11.$ The average age of $55$ of their parents is $33.$ What is the average age of all of these parents and fifth-graders?

$22$

$23.25$

$24.75$

$26.25$

$28$

答案：C

知识点：平均数

难度评级：1270

小提示：

总平均年龄等于所有年龄总和除以总人数。

The overall average is the total of all ages divided by the total number of people

大提示：

年龄总和为 $55\cdot 33 + 33\cdot 11$ ，人数为 $55+33$ 。

The total age is $55\cdot 33 + 33\cdot 11,$ spread over $55+33$ people

解答：

家长年龄总和为 $55\cdot 33$ ，五年级学生年龄总和为 $33\cdot 11$ ，合计 $33\cdot 66$ 。总人数为 $88$ ，所以平均年龄为 $\dfrac{33\cdot 66}{88} = 24.75$ 。正确答案是 C。

The parents’ ages sum to $55\cdot 33$ and the fifth-graders’ to $33\cdot 11,$ a total of $33\cdot 66.$ Dividing by $88$ people gives $\dfrac{33\cdot 66}{88} = 24.75.$ Thus, the correct answer is C.

6.

实数 $x$ 和 $y$ 满足方程 $x^2 + y^2 = 10x - 6y - 34$ 。 $x+y$ 是多少？

Real numbers $x$ and $y$ satisfy the equation $x^2 + y^2 = 10x - 6y - 34.$ What is $x+y?$

$1$

$2$

$3$

$6$

$8$

答案：B

知识点：配方法

难度评级：1370

小提示：

将所有项移到一边，并分别对 $x$ 与 $y$ 配方。

Move every term to one side and complete the square in both $x$ and $y$

大提示：

两个平方和等于 $0$ ，就迫使每个平方都等于 $0$ 。

A sum of two squares equal to $0$ forces each square to be $0$

解答：

整理并配方得 $x^2 - 10x + 25 + y^2 + 6y + 9$ $= 0$ ，即 $(x-5)^2 + (y+3)^2 = 0$ 。因此 $x = 5$ 、 $y = -3$ ，所以 $x + y = 2$ 。正确答案是 B。

Rearranging gives $x^2 - 10x + 25 + y^2 + 6y + 9$ $= 0,$ that is $(x-5)^2 + (y+3)^2 = 0.$ Hence $x = 5$ and $y = -3,$ so $x + y = 2.$ Thus, the correct answer is B.

7.

Jo 和 Blair 轮流从 $1$ 开始数，每次比对方上一轮说到的最后一个数多说一个数。Jo 先说“ $1$ ”，所以 Blair 接着说“ $1$ 、 $2$ ”。然后 Jo 说“ $1$ 、 $2$ 、 $3$ ”，依此类推。说出的第 $53$ 个数是什么？

Jo and Blair take turns counting from $1$ to one more than the last number said by the other person. Jo starts by saying “ $1$ ”, so Blair follows by saying “ $1,$ $2$ ”. Jo then says “ $1,$ $2,$ $3$ ”, and so on. What is the $53$ rd number said?

$2$

$3$

$5$

$6$

$8$

答案：E

知识点：三角形数

难度评级：1380

小提示：

以 $n$ 结尾的一轮，就是某人说 $1, 2, \ldots, n$ 。

The turn that ends at $n$ consists of someone saying $1, 2, \ldots, n$

大提示：

到以 $n$ 结尾的那一轮结束时，总共说了 $\tfrac12 n(n+1)$ 个数。

After the turn ending at $n,$ a total of $\tfrac12 n(n+1)$ numbers have been said

解答：

到数到 $n$ 的那一轮结束时，共说了 $1 + 2 + \cdots + n = \tfrac12 n(n+1)$ 个数。当 $n = 9$ 时，这个总数为 $45$ 。下一轮从 $1, 2, \ldots$ 开始，所以第 $53$ 个数是这一轮的第 $8$ 个数，即 $8$ 。正确答案是 E。

After the turn that counts up to $n,$ exactly $1 + 2 + \cdots + n = \tfrac12 n(n+1)$ numbers have been said. For $n = 9$ that is $45.$ The next turn starts $1, 2, \ldots,$ so the $53$ rd number is the $8$ th number of that turn, namely $8.$ Thus, the correct answer is E.

8.

直线 $\ell_1$ 的方程为 $3x - 2y = 1$ ，并经过点 $A = (-1, -2)$ 。直线 $\ell_2$ 的方程为 $y = 1$ ，与 $\ell_1$ 交于点 $B$ 。直线 $\ell_3$ 斜率为正，经过点 $A$ ，并与 $\ell_2$ 交于点 $C$ 。 $\triangle ABC$ 的面积为 $3$ 。 $\ell_3$ 的斜率是多少？

Line $\ell_1$ has equation $3x - 2y = 1$ and goes through $A = (-1, -2).$ Line $\ell_2$ has equation $y = 1$ and meets line $\ell_1$ at point $B.$ Line $\ell_3$ has positive slope, goes through point $A,$ and meets $\ell_2$ at point $C.$ The area of $\triangle ABC$ is $3.$ What is the slope of $\ell_3?$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

$1$

$\dfrac{4}{3}$

$\dfrac{3}{2}$

答案：B

知识点：坐标几何三角形面积斜率

难度评级：1460

小提示：

联立 $3x - 2y = 1$ 与 $y = 1$ ，求出 $B$ 。

Find $B$ by solving $3x - 2y = 1$ together with $y = 1$

大提示：

点 $A$ 到直线 $\ell_2$ 的距离为 $3$ ，所以由 $\tfrac12\cdot BC\cdot 3 = 3$ 可求 $BC$ 。

The distance from $A$ to line $\ell_2$ is $3,$ so $\tfrac12\cdot BC\cdot 3 = 3$ gives $BC$

解答：

联立 $3x - 2y = 1$ 与 $y = 1$ ，得 $B = (1, 1)$ 。点 $A = (-1, -2)$ 到直线 $y = 1$ 的距离为 $3$ ，所以 $\tfrac12\cdot BC\cdot 3 = 3$ ，从而 $BC = 2$ 。于是 $C = (3, 1)$ 或 $C = (-1, 1)$ ；后者会使 $\ell_3$ 竖直，所以 $C = (3, 1)$ 。因此斜率为 $\dfrac{1 - (-2)}{3 - (-1)} = \dfrac34$ 。正确答案是 B。

Solving $3x - 2y = 1$ with $y = 1$ gives $B = (1, 1).$ The distance from $A = (-1, -2)$ to the line $y = 1$ is $3,$ so $\tfrac12\cdot BC\cdot 3 = 3$ gives $BC = 2.$ Then $C = (3, 1)$ or $C = (-1, 1);$ the latter makes $\ell_3$ vertical, so $C = (3, 1)$ and the slope is $\dfrac{1 - (-2)}{3 - (-1)} = \dfrac34.$ Thus, the correct answer is B.

9.

能整除 $12!$ 的最大完全平方数，其平方根的质因数分解中各指数之和是多少？

What is the sum of the exponents of the prime factors of the square root of the largest perfect square that divides $12!$ ?

$5$

$7$

$8$

$10$

$12$

答案：C

知识点：质因数分解阶乘完全平方数

难度评级：1510

小提示：

分解 $12! = 2^{10}\cdot 3^5\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11$ 。

Factor $12! = 2^{10}\cdot 3^5\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11$

大提示：

最大平方因数只保留偶数指数；再把指数减半得到平方根。

The largest square divisor keeps only even exponents; halving them gives the square root

解答：

因为 $12! = 2^{10}\cdot 3^5\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11$ ，能整除它的最大完全平方数为 $2^{10}\cdot 3^4\cdot 5^2$ ，其平方根为 $2^5\cdot 3^2\cdot 5$ 。指数和为 $5 + 2 + 1 = 8$ 。正确答案是 C。

Since $12! = 2^{10}\cdot 3^5\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11,$ the largest perfect square dividing it is $2^{10}\cdot 3^4\cdot 5^2,$ whose square root is $2^5\cdot 3^2\cdot 5.$ The exponents sum to $5 + 2 + 1 = 8.$ Thus, the correct answer is C.

10.

Alex 有 $75$ 个红色代币和 $75$ 个蓝色代币。有一个摊位可以用两个红色代币换一个银色代币和一个蓝色代币；另一个摊位可以用三个蓝色代币换一个银色代币和一个红色代币。Alex 持续交换，直到无法再交换为止。最后 Alex 会有多少个银色代币？

Alex has $75$ red tokens and $75$ blue tokens. There is a booth where Alex can give two red tokens and receive in return a silver token and a blue token, and another booth where Alex can give three blue tokens and receive in return a silver token and a red token. Alex continues to exchange tokens until no more exchanges are possible. How many silver tokens will Alex have at the end?

$62$

$82$

$83$

$102$

$103$

答案：E

知识点：方程组不变量

难度评级：1550

小提示：

若第一个摊位交换 $m$ 次，第二个摊位交换 $n$ 次，则 Alex 剩下 $75-(2m-n)$ 个红色代币和 $75-(3n-m)$ 个蓝色代币。

After $m$ exchanges at the first booth and $n$ at the second, Alex has $75-(2m-n)$ red and $75-(3n-m)$ blue tokens

大提示：

交换停止时红色少于 $2$ 个且蓝色少于 $3$ 个；银色代币数为 $m+n$ 。

Exchanges stop when fewer than $2$ red and fewer than $3$ blue remain; the silver count is $m+n$

解答：

经过 $m$ 次红色摊位交换和 $n$ 次蓝色摊位交换后，Alex 有 $75 - (2m - n)$ 个红色代币、 $75-(3n-m)$ 个蓝色代币，以及 $m+n$ 个银色代币。停止时，红色代币数为 $0$ 或 $1$ ，蓝色代币数为 $0,1$ ，或 $2$ 。对这六种情形求解代币方程，只得到 $(m,n)=(59,44)$ ，终态为 $(1,2)$ ，或 $(m,n)=(60,45)$ ，终态为 $(0,0)$ 。后者不可能到达：最后一次交换前的状态只能是 $(-1,3)$ 或 $(2,-1)$ 。因此 Alex 最终有 $59+44=103$ 个银色代币。所以正确答案是 E。

After $m$ red-booth and $n$ blue-booth exchanges, Alex has $75 - (2m - n)$ red tokens, $75-(3n-m)$ blue tokens, and $m+n$ silver tokens. At termination the red count is $0$ or $1,$ and the blue count is $0,1,$ or $2.$ Solving the token equations over these six cases leaves only $(m,n)=(59,44),$ ending at $(1,2),$ or $(m,n)=(60,45),$ ending at $(0,0).$ The latter is unreachable: its final exchange would have to start at either $(-1,3)$ or $(2,-1).$ Hence Alex finishes with $59+44=103$ silver tokens. Thus, the correct answer is E.

11.

两只蜜蜂从同一点出发，并以相同速度按如下方向飞行。蜜蜂 $A$ 先向北飞 $1$ 英尺，再向东飞 $1$ 英尺，再向上飞 $1$ 英尺，然后不断重复这个模式。蜜蜂 $B$ 先向南飞 $1$ 英尺，再向西飞 $1$ 英尺，然后不断重复这个模式。当两只蜜蜂恰好相距 $10$ 英尺时，它们分别正朝什么方向飞？

Two bees start at the same spot and fly at the same rate in the following directions. Bee $A$ travels $1$ foot north, then $1$ foot east, then $1$ foot upwards, and then continues to repeat this pattern. Bee $B$ travels $1$ foot south, then $1$ foot west, and then continues to repeat this pattern. In what directions are the bees traveling when they are exactly $10$ feet away from each other?

$A$ 向东， $B$ 向西

$A$ east, $B$ west

$A$ 向北， $B$ 向南

$A$ north, $B$ south

$A$ 向北， $B$ 向西

$A$ north, $B$ west

$A$ 向上， $B$ 向南

$A$ up, $B$ south

$A$ 向上， $B$ 向西

$A$ up, $B$ west

答案：A

知识点：立体几何距离公式

难度评级：1610

小提示：

以东、北、上分别为 $x, y, z$ 方向建立坐标；两只蜜蜂之间的距离只会随时间增加。

Use coordinates with east, north, up as $x, y, z;$ the bees only get farther apart over time

大提示：

计算每一英尺移动前后的距离，找出它何时跨过 $10$ 。

Compute the distance right before and right after each foot to find where it crosses $10$

解答：

取东、北、上为 $x, y, z$ 方向。飞行 $7$ 英尺后，蜜蜂 $A$ 在 $(2, 3, 2)$ ，蜜蜂 $B$ 在 $(-3, -4, 0)$ ，距离为 $\sqrt{78} \lt 10$ 。下一英尺中， $A$ 向东到 $(3, 3, 2)$ ， $B$ 向西到 $(-4, -4, 0)$ ，距离为 $\sqrt{102} \gt 10$ 。所以它们相距 $10$ 英尺时， $A$ 正向东， $B$ 正向西。正确答案是 A。

Take east, north, up as $x, y, z.$ After $7$ feet bee $A$ is at $(2, 3, 2)$ and bee $B$ is at $(-3, -4, 0),$ a distance $\sqrt{78} \lt 10.$ On the next foot bee $A$ moves east to $(3, 3, 2)$ and bee $B$ moves west to $(-4, -4, 0),$ a distance $\sqrt{102} \gt 10.$ So they pass through $10$ feet apart while $A$ heads east and $B$ heads west. Thus, the correct answer is A.

12.

城市 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 由道路 $AB$ 、 $AD$ 、 $AE$ 、 $BC$ 、 $BD$ 、 $CD$ 、 $DE$ 连接。有多少条从 $A$ 到 $B$ 的不同路线，可以恰好使用每条道路一次？（这样的路线必然会多次经过某些城市。）

Cities $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ and $E$ are connected by roads $AB,$ $AD,$ $AE,$ $BC,$ $BD,$ $CD,$ and $DE.$ How many different routes are there from $A$ to $B$ that use each road exactly once? (Such a route will necessarily visit some cities more than once.)

$7$

$9$

$12$

$16$

$18$

答案：D

知识点：图论分类讨论乘法原理

难度评级：1670

小提示：

城市 $C$ 和 $E$ 各只连接两条道路，所以它们像 $A$ - $D$ 与 $B$ - $D$ 连接上的绕行。

Cities $C$ and $E$ each touch only two roads, so they behave like detours on the $A$ – $D$ and $B$ – $D$ connections

大提示：

先在化简后的图上数从 $A$ 到 $B$ 的通路，再乘以独立绕行的选择数。

Count the trails from $A$ to $B$ on the reduced graph, then multiply by the independent detour choices

解答：

城市 $E$ （道路 $AE, DE$ ）是在 $A$ - $D$ 旅程上的绕行，城市 $C$ （道路 $BC, CD$ ）是在 $B$ - $D$ 旅程上的绕行。把它们化简后，得到只含 $A, B, D$ 的图，其中有两条 $A$ - $D$ 连接、两条 $B$ - $D$ 连接和一条 $A$ - $B$ 道路。恰好各用一次的 $A$ 到 $B$ 通路有 $4$ 类： $ABDADB$ 、 $ADABDB$ 、 $ADBADB$ 、 $ADBDAB$ 。每个绕行（经 $E$ 、经 $C$ ）都可放在两次经过中的任一次，所以每类给出 $4$ 条实际路线，共 $4\cdot 4 = 16$ 条。正确答案是 D。

City $E$ (roads $AE, DE$ ) is a detour on an $A$ – $D$ trip, and city $C$ (roads $BC, CD$ ) is a detour on a $B$ – $D$ trip. Replace them to get a graph on $A, B, D$ with two $A$ – $D$ connections, two $B$ – $D$ connections, and one $A$ – $B$ road. The trails from $A$ to $B$ using each once are of $4$ types: $ABDADB,$ $ADABDB,$ $ADBADB,$ and $ADBDAB.$ Each detour (through $E,$ through $C$ ) can be taken on either passage, so each type gives $4$ actual routes, for $4\cdot 4 = 16$ routes. Thus, the correct answer is D.

13.

四边形 $ABCD$ 的内角成等差数列。三角形 $ABD$ 与 $DCB$ 相似，且 $\angle DBA = \angle DCB$ 、 $\angle ADB = \angle CBD$ 。此外，这两个三角形各自的角也都成等差数列。 $ABCD$ 中最大的两个角之和最大可能是多少度？

The internal angles of quadrilateral $ABCD$ form an arithmetic progression. Triangles $ABD$ and $DCB$ are similar with $\angle DBA = \angle DCB$ and $\angle ADB = \angle CBD.$ Moreover, the angles in each of these two triangles also form an arithmetic progression. In degrees, what is the largest possible sum of the two largest angles of $ABCD?$

$210$

$220$

$230$

$240$

$250$

答案：D

知识点：等差数列导角分类讨论

难度评级：1700

小提示：

一个三角形的三个角成等差数列，当且仅当中间角为 $60^\circ$ 。

A triangle’s angles form an arithmetic progression exactly when its middle angle is $60^\circ$

大提示：

令 $\angle DBA = x$ 、 $\angle ADB = y$ ，则四边形 $ABCD$ 的四个角为 $x, y, 180-y, 180-x$ 。它们必须成等差数列，并且三角形中有一个角等于 $60^\circ$ 。

Let $\angle DBA = x$ and $\angle ADB = y;$ the four angles of $ABCD$ become $x, y, 180-y, 180-x,$ which must be an arithmetic progression with one triangle angle equal to $60^\circ$

解答：

三角形的三个角成等差数列，当且仅当中间的角为 $60^\circ$ 。令 $\angle DBA = x$ 、 $\angle ADB = y$ ，则四边形 $ABCD$ 的四个角为 $x, y, 180 - y, 180-x$ ，它们本身也必须成等差数列。按递增顺序排列，它们只能是 $x,y,180-y,180-x$ 或 $x,180-y,y,180-x$ ，于是分别得到 $3y=x+180$ 或 $3y=360-x$ 。而三角形的三个角 $x,y,180-x-y$ 中有一个等于 $60^\circ$ 。代入后只剩下两组角 $(60,80,100,120)$ 和 $(45,75,105,135)$ 。最大的两个角之和至多为 $105 + 135 = 240$ 。所以正确答案是 D。

The angles of a triangle form an arithmetic progression exactly when the middle one is $60^\circ.$ With $\angle DBA = x$ and $\angle ADB = y,$ the four angles of $ABCD$ are $x, y, 180 - y, 180-x,$ which must itself be an arithmetic progression. In increasing order they are either $x,y,180-y,180-x$ or $x,180-y,y,180-x,$ giving $3y=x+180$ or $3y=360-x.$ One of the triangle angles $x,y,180-x-y$ is $60^\circ.$ Substitution leaves the angle sets $(60,80,100,120)$ and $(45,75,105,135).$ The two largest angles sum to at most $105 + 135 = 240.$ Thus, the correct answer is D.

14.

两个非负整数的不降序列有不同的首项。每个序列都满足从第三项开始，每项都是前两项之和，并且两个序列的第七项都是 $N$ 。 $N$ 的最小可能值是多少？

Two non-decreasing sequences of nonnegative integers have different first terms. Each sequence has the property that each term beginning with the third is the sum of the previous two terms, and the seventh term of each sequence is $N.$ What is the smallest possible value of $N?$

$55$

$89$

$104$

$144$

$273$

答案：C

知识点：斐波那契数列丢番图方程最大公约数

难度评级：1750

小提示：

用前两项 $a_1, a_2$ 表示，第七项等于 $5a_1 + 8a_2$ 。

In terms of the first two terms $a_1, a_2,$ the seventh term equals $5a_1 + 8a_2$

大提示：

令两个第七项相等，得到 $5(b_1 - a_1) = 8(a_2 - b_2)$ ；由于 $5$ 与 $8$ 互质，必须有 $b_1 - a_1$ 是 $8$ 的倍数。

Setting the two seventh terms equal gives $5(b_1 - a_1) = 8(a_2 - b_2);$ coprimality of $5$ and $8$ forces $b_1 - a_1$ to be a multiple of $8$

解答：

以 $a_1, a_2$ 开始的序列第七项为 $5a_1 + 8a_2$ 。对两个序列， $5a_1 + 8a_2 = 5b_1 + 8b_2$ ，所以 $5(b_1 - a_1) = 8(a_2 - b_2)$ 。因为 $\gcd(5, 8) = 1$ ，需要 $b_1 - a_1$ 是 $8$ 的倍数，且 $a_2 - b_2$ 是 $5$ 的倍数。设 $a_1 \lt b_1$ ，并利用不降条件，有 $a_1 \le b_1 - 8 \le b_2 - 8 \le a_2 - 13$ 。取 $a_1 = 0$ 、 $b_1 = b_2 = 8$ 、 $a_2 = 13$ ，得到 $N = 5\cdot 0 + 8\cdot 13 = 104$ 。正确答案是 C。

A sequence starting $a_1, a_2$ has seventh term $5a_1 + 8a_2.$ For the two sequences, $5a_1 + 8a_2 = 5b_1 + 8b_2,$ so $5(b_1 - a_1) = 8(a_2 - b_2).$ Since $\gcd(5, 8) = 1,$ we need $b_1 - a_1$ to be a multiple of $8$ and $a_2 - b_2$ to be a multiple of $5.$ Taking $a_1 \lt b_1$ with nondecreasing terms gives $a_1 \le b_1 - 8 \le b_2 - 8 \le a_2 - 13.$ Choosing $a_1 = 0,$ $b_1 = b_2 = 8,$ $a_2 = 13$ yields $N = 5\cdot 0 + 8\cdot 13 = 104.$ Thus, the correct answer is C.

15.

数字 $2013$ 被表示为

$2013 = \frac{a_1!\,a_2!\cdots a_m!}{b_1!\,b_2!\cdots b_n!}\text{，}$

其中 $a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_m$ 和 $b_1 \ge b_2 \ge \cdots \ge b_n$ 都是正整数，且 $a_1 + b_1$ 尽可能小。求 $|a_1 - b_1|\,$ ？

The number $2013$ is expressed in the form

$2013 = \frac{a_1!\,a_2!\cdots a_m!}{b_1!\,b_2!\cdots b_n!},$

where $a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_m$ and $b_1 \ge b_2 \ge \cdots \ge b_n$ are positive integers and $a_1 + b_1$ is as small as possible. What is $|a_1 - b_1|\,?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

答案：B

知识点：质因数分解阶乘极限情形界定

难度评级：1840

小提示：

分解 $2013 = 3\cdot 11\cdot 61$ ，其最大质因数为 $61$ 。

Factor $2013 = 3\cdot 11\cdot 61;$ its largest prime is $61$

大提示：

某个 $a_i!$ 必须至少达到 $61$ ，所以 $a_1 \ge 61$ 。但 $61!$ 还含有质因数 $59$ ，必须在分母中约去。

Some $a_i!$ must reach $61,$ so $a_1 \ge 61;$ but $61!$ also contains the prime $59,$ which must be cancelled from the denominator

解答：

因为 $2013 = 3\cdot 11\cdot 61$ ，分子中至少需要一个 $61!$ 来提供质因数 $61$ ，所以 $a_1 \ge 61$ 。但是 $61!$ 还含有 $2013$ 所不含的质因数 $59$ ，所以分母中必须有 $b_1 \ge 59$ 。因此 $a_1 + b_1 \ge 120$ 。取 $a_1 = 61$ 、 $b_1 = 59$ ，并使用 $2013 = \dfrac{61!\,11!\,3!}{59!\,10!\,5!}$ ，可以达到这个下界。于是 $|a_1 - b_1| = 2$ 。所以正确答案是 B。

Since $2013 = 3\cdot 11\cdot 61,$ the numerator needs a factorial at least $61!$ to supply the prime $61,$ so $a_1 \ge 61.$ But $61!$ also has a factor of $59,$ which $2013$ does not, so the denominator needs $b_1 \ge 59.$ Thus $a_1 + b_1 \ge 120,$ attained by $a_1 = 61,$ $b_1 = 59$ via $2013 = \dfrac{61!\,11!\,3!}{59!\,10!\,5!}.$ Then $|a_1 - b_1| = 2.$ Thus, the correct answer is B.

16.

设 $ABCDE$ 是周长为 $1$ 的等角凸五边形。延长五边形各边所得直线的两两交点形成一个五角星多边形。设这个五角星的周长为 $s$ 。 $s$ 的最大可能值与最小可能值之差是多少？

Let $ABCDE$ be an equiangular convex pentagon of perimeter $1.$ The pairwise intersections of the lines that extend the sides of the pentagon determine a five-pointed star polygon. Let $s$ be the perimeter of this star. What is the difference between the maximum and the minimum possible values of $s?$

$0$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\sqrt5 - 1}{2}$

$\dfrac{\sqrt5 + 1}{2}$

$\sqrt5$

答案：A

知识点：等角多边形等腰三角形不变量

难度评级：1890

小提示：

等角五边形每个内角为 $108^\circ$ ，所以星形的每个尖角都是顶角为 $36^\circ$ 的等腰三角形。

Each interior angle of an equiangular pentagon is $108^\circ,$ so every point of the star is an isosceles triangle with a $36^\circ$ apex

大提示：

每个星尖的两条相等边，都是它所在五边形边长的同一个固定倍数 $c$ ，所以星形周长是五边形周长的 $2c$ 倍。

Each star point’s two equal sides are the same fixed multiple $c$ of the pentagon side it sits on, so the star perimeter is $2c$ times the pentagon perimeter

解答：

等角五边形的内角全为 $108^\circ$ ，所以星形的每个尖角都是底角为 $72^\circ$ 、顶角为 $36^\circ$ 的等腰三角形。由于底角相等，每个尖角贡献的两条边都是其所对应五边形边长的同一固定倍数 $c$ 。把五个尖角相加，星形周长为 $2c\cdot(\text{五边形周长}) = 2c$ ，与各边的具体长度无关。因此 $s$ 是常数，其最大值与最小值之差为 $0$ 。所以正确答案是 A。

An equiangular pentagon has all interior angles $108^\circ,$ so each point of the star is an isosceles triangle with base angles $72^\circ$ and apex $36^\circ.$ By the equal base angles, each point contributes two sides that are the same fixed multiple $c$ of the pentagon side it rests on. Summing over the five points, the star perimeter equals $2c\cdot(\text{pentagon perimeter}) = 2c,$ independent of the individual side lengths. So $s$ is constant, and the difference between its maximum and minimum values is $0.$ Thus, the correct answer is A.

17.

设 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 为实数，满足

$a + b + c = 2$ 且 $a^2 + b^2 + c^2 = 12\text{。}$

$c$ 的最大可能值与最小可能值之差是多少？

Let $a,$ $b,$ and $c$ be real numbers such that

$a + b + c = 2$ and $a^2 + b^2 + c^2 = 12.$

What is the difference between the maximum and minimum possible values of $c?$

$2$

$\dfrac{10}{3}$

$4$

$\dfrac{16}{3}$

$\dfrac{20}{3}$

答案：D

知识点：二次方程不等式极端原理

难度评级：1960

小提示：

写成 $a + b = 2 - c$ 和 $a^2 + b^2 = 12 - c^2$ 。

Write $a + b = 2 - c$ and $a^2 + b^2 = 12 - c^2$

大提示：

具有给定的和与平方和的实数 $a, b$ 存在，当且仅当 $(a+b)^2 \le 2(a^2 + b^2)$ 。

Real $a, b$ with a given sum and sum of squares exist iff $(a+b)^2 \le 2(a^2 + b^2)$

解答：

由方程可得 $a + b = 2 - c$ 和 $a^2 + b^2 = 12 - c^2$ 。具有给定的和与平方和的实数 $a, b$ 存在，当且仅当 $(a + b)^2 \le 2(a^2 + b^2)$ ，也就是 $(2 - c)^2 \le 2(12 - c^2)$ 。化简得 $(3c - 10)(c + 2) \le 0$ ，所以 $-2 \le c \le \tfrac{10}{3}$ 。最大值与最小值之差为 $\tfrac{10}{3} - (-2) = \tfrac{16}{3}$ 。所以正确答案是 D。

From the equations, $a + b = 2 - c$ and $a^2 + b^2 = 12 - c^2.$ Real numbers $a, b$ with a given sum and sum of squares exist iff $(a + b)^2 \le 2(a^2 + b^2),$ i.e. $(2 - c)^2 \le 2(12 - c^2).$ This simplifies to $(3c - 10)(c + 2) \le 0,$ so $-2 \le c \le \tfrac{10}{3}.$ The difference is $\tfrac{10}{3} - (-2) = \tfrac{16}{3}.$ Thus, the correct answer is D.

18.

Barbara 和 Jenna 轮流进行如下游戏。桌上放着若干枚硬币。轮到 Barbara 时，她必须拿走 $2$ 枚或 $4$ 枚硬币；如果只剩一枚硬币，她就跳过这一轮。轮到 Jenna 时，她必须拿走 $1$ 枚或 $3$ 枚硬币。由抛硬币决定谁先走，拿走最后一枚硬币的人获胜。假设两人都采用最佳策略。当游戏分别从 $2013$ 枚和 $2014$ 枚硬币开始时，谁会获胜？

Barbara and Jenna play the following game, in which they take turns. A number of coins lie on a table. When it is Barbara’s turn, she must remove $2$ or $4$ coins, unless only one coin remains, in which case she loses her turn. When it is Jenna’s turn, she must remove $1$ or $3$ coins. A coin flip determines who goes first. Whoever removes the last coin wins the game. Assume both players use their best strategy. Who will win when the game starts with $2013$ coins and when the game starts with $2014$ coins?

Barbara 会在 $2013$ 枚硬币时获胜，Jenna 会在 $2014$ 枚硬币时获胜。

Barbara will win with $2013$ coins, and Jenna will win with $2014$ coins.

Jenna 会在 $2013$ 枚硬币时获胜，而 $2014$ 枚硬币时先手获胜。

Jenna will win with $2013$ coins, and whoever goes first will win with $2014$ coins.

Barbara 会在 $2013$ 枚硬币时获胜，而 $2014$ 枚硬币时后手获胜。

Barbara will win with $2013$ coins, and whoever goes second will win with $2014$ coins.

Jenna 会在 $2013$ 枚硬币时获胜，Barbara 会在 $2014$ 枚硬币时获胜。

Jenna will win with $2013$ coins, and Barbara will win with $2014$ coins.

$2013$ 枚硬币时先手获胜， $2014$ 枚硬币时后手获胜。

Whoever goes first will win with $2013$ coins, and whoever goes second will win with $2014$ coins.

答案：B

知识点：组合游戏不变量模运算

难度评级：2070

小提示：

追踪硬币数量模 $5$ 的余数。

Track the number of coins modulo $5$

大提示：

Jenna 可以总是在自己走完后恢复到 $5$ 的倍数：Barbara 拿 $2$ 时她拿 $3$ ，Barbara 拿 $4$ 时她拿 $1$ ；再判断每个初始数量下谁能维持不变量。

Jenna can always restore a multiple of $5$ after her move, answering Barbara’s $2$ with $3$ and her $4$ with $1;$ decide who can maintain the invariant for each starting count

解答：

按模 $5$ 分析。因为 $2013 \equiv 3$ ，无论谁先走，Jenna 都能获胜。如果 Jenna 先走，她先拿走 $3$ 枚，使剩余数量成为 $5$ 的倍数；此后 Barbara 拿走 $2$ 枚时，她就拿走 $3$ 枚，Barbara 拿走 $4$ 枚时，她就拿走 $1$ 枚，从而始终留下 $5$ 的倍数，并最终拿走最后一枚。如果 Jenna 后走，她可以使每轮结束后的硬币数保持 $\equiv 3 \pmod 5$ ，直到 Barbara 面对 $3$ 枚硬币，只能拿走 $2$ 枚，把最后一枚留给 Jenna。因为 $2014 \equiv 4$ ，这时先手获胜：Jenna 先走可把局面化为 $2013$ 枚的情形；Barbara 先走则可先拿走 $4$ 枚，此后维持 $5$ 的倍数。因此选择 B。所以正确答案是 B。

Work modulo $5.$ With $2013 \equiv 3$ coins, Jenna wins either way: going first she takes $3$ to leave a multiple of $5,$ then answers Barbara’s $2$ with $3$ and $4$ with $1$ to keep multiples of $5,$ eventually taking the last coin; going second she keeps the count $\equiv 3 \pmod 5$ until Barbara is stuck at $3$ coins, must remove $2,$ and leaves Jenna the last coin. With $2014 \equiv 4$ coins, whoever goes first wins: Jenna first reduces to the $2013$ case, while Barbara first takes $4$ and then keeps multiples of $5.$ This is choice B. Thus, the correct answer is B.

19.

在三角形 $ABC$ 中， $AB = 13$ 、 $BC = 14$ 、 $CA = 15$ 。不同的点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别在线段 $BC$ 、 $CA$ 、 $DE$ 上，并且 $AD \perp BC$ 、 $DE \perp AC$ 、 $AF \perp BF$ 。线段 $DF$ 的长度可写为 $\dfrac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m + n$ 。

In triangle $ABC,$ $AB = 13,$ $BC = 14,$ and $CA = 15.$ Distinct points $D,$ $E,$ and $F$ lie on segments $BC,$ $CA,$ and $DE,$ respectively, such that $AD \perp BC,$ $DE \perp AC,$ and $AF \perp BF.$ The length of segment $DF$ can be written as $\dfrac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m + n?$

$18$

$21$

$24$

$27$

$30$

答案：B

知识点：圆内接四边形相似高线

难度评级：2140

小提示：

$13$ - $14$ - $15$ 三角形中的高 $AD$ 可得 $BD = 5$ 、 $CD = 9$ 、 $AD = 12$ 。

The altitude $AD$ in the $13$ - $14$ - $15$ triangle gives $BD = 5,$ $CD = 9,$ $AD = 12$

大提示：

因为 $\angle AFB = \angle ADB = 90^\circ$ ，所以 $A, B, D, F$ 四点共圆；利用相似直角三角形求出 $FE$ ，再由 $DF = DE - FE$ 计算。

Since $\angle AFB = \angle ADB = 90^\circ,$ points $A, B, D, F$ are concyclic; use similar right triangles to find $FE,$ then $DF = DE - FE$

解答：

从 $A$ 到 $BC$ 的高可得 $BD = 5$ 、 $CD = 9$ 、 $AD = 12$ 。因为 $DE \perp AC$ ，所以 $AED \sim ADC$ ，从而 $DE = \tfrac{36}{5}$ 、 $AE = \tfrac{48}{5}$ 。又因为 $\angle AFB = \angle ADB = 90^\circ$ ，四边形 $ABDF$ 是圆内接四边形，所以 $\angle ABD = \angle AFE$ 。于是直角三角形 $ABD$ 与 $AFE$ 相似，故 $\dfrac{FE}{5} = \dfrac{\frac{48}{5}}{12}$ ，即 $FE = 4$ 。因此 $DF = DE - FE$ $= \tfrac{36}{5} - 4$ $= \tfrac{16}{5}$ ，所以 $m + n = 21$ 。所以正确答案是 B。

The altitude from $A$ to $BC$ gives $BD = 5,$ $CD = 9,$ $AD = 12.$ Because $DE \perp AC,$ triangle $AED \sim ADC,$ giving $DE = \tfrac{36}{5}$ and $AE = \tfrac{48}{5}.$ Since $\angle AFB = \angle ADB = 90^\circ,$ quadrilateral $ABDF$ is cyclic, so $\angle ABD = \angle AFE,$ making right triangles $ABD$ and $AFE$ similar: $\dfrac{FE}{5} = \dfrac{\frac{48}{5}}{12},$ so $FE = 4.$ Hence $DF = DE - FE$ $= \tfrac{36}{5} - 4$ $= \tfrac{16}{5},$ and $m + n = 21.$ Thus, the correct answer is B.

20.

当 $135^\circ \lt x \lt 180^\circ$ 时，点 $P = (\cos x, \cos^2 x)$ 、 $Q = (\cot x, \cot^2 x)$ 、 $R = (\sin x, \sin^2 x)$ 、 $S = (\tan x, \tan^2 x)$ 是一个梯形的四个顶点。求 $\sin(2x)$ 。

For $135^\circ \lt x \lt 180^\circ,$ points $P = (\cos x, \cos^2 x),$ $Q = (\cot x, \cot^2 x),$ $R = (\sin x, \sin^2 x),$ and $S = (\tan x, \tan^2 x)$ are the vertices of a trapezoid. What is $\sin(2x)?$

$2 - 2\sqrt2$

$3\sqrt3 - 6$

$3\sqrt2 - 5$

$-\dfrac{3}{4}$

$1 - \sqrt3$

答案：A

知识点：抛物线三角恒等式梯形

难度评级：2270

小提示：

四个点都在抛物线 $y = t^2$ 上；连接参数为 $t_1$ 和 $t_2$ 的两点所得弦的斜率为 $t_1 + t_2$ 。

All four points lie on the parabola $y = t^2;$ the slope of the chord joining parameters $t_1$ and $t_2$ is $t_1 + t_2$

大提示：

在这个范围内，平行边必须是 $QR$ 与 $PS$ ，所以 $\cot x + \sin x = \tan x + \cos x$ 。

On this range the parallel sides must be $QR$ and $PS,$ so $\cot x + \sin x = \tan x + \cos x$

解答：

每个点 $(t, t^2)$ 都在 $y = t^2$ 上，而连接参数为 $t_1, t_2$ 的两点所得弦的斜率为 $t_1 + t_2$ 。当 $135^\circ \lt x \lt 180^\circ$ 时， $\cos x$ 和 $\tan x$ 都介于 $\cot x$ 与 $\sin x$ 之间，所以 $P$ 、 $S$ 位于 $Q$ 、 $R$ 之间，平行边为 $QR$ 和 $PS$ 。由斜率相等可得 $\cot x + \sin x = \tan x + \cos x$ 。两边乘以 $\sin x\cos x$ 并化简，得 $\cos x + \sin x - \sin x\cos x = 0$ 。两边平方，再利用 $2\sin x\cos x = \sin 2x$ ，可得 $1 + \sin 2x = \tfrac14\sin^2 2x$ 。它在 $(-1, 1)$ 中唯一的根为 $\sin 2x = 2 - 2\sqrt2$ 。所以正确答案是 A。

Each point $(t, t^2)$ lies on $y = t^2,$ and the chord through parameters $t_1, t_2$ has slope $t_1 + t_2.$ For $135^\circ \lt x \lt 180^\circ,$ both $\cos x$ and $\tan x$ lie between $\cot x$ and $\sin x,$ so $P$ and $S$ sit between $Q$ and $R$ and the parallel sides are $QR$ and $PS.$ Equal slopes give $\cot x + \sin x = \tan x + \cos x.$ Multiplying by $\sin x\cos x$ and simplifying yields $\cos x + \sin x - \sin x\cos x = 0.$ Squaring and using $2\sin x\cos x = \sin 2x$ gives $1 + \sin 2x = \tfrac14\sin^2 2x,$ whose only root in $(-1, 1)$ is $\sin 2x = 2 - 2\sqrt2.$ Thus, the correct answer is A.

21.

考虑如下定义的 $30$ 条抛物线：所有抛物线的焦点都是 $(0, 0)$ ，准线均形如 $y = ax + b$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是整数，且 $a \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ 、 $b \in \{-3, -2, -1, 1, 2, 3\}$ 。这些抛物线中没有三条有公共点。平面上有多少个点恰好位于其中两条抛物线上？

Consider the set of $30$ parabolas defined as follows: all parabolas have as focus the point $(0, 0)$ and the directrix lines have the form $y = ax + b$ with $a$ and $b$ integers such that $a \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ and $b \in \{-3, -2, -1, 1, 2, 3\}.$ No three of these parabolas have a common point. How many points in the plane are on two of these parabolas?

$720$

$760$

$810$

$840$

$870$

答案：C

知识点：抛物线补集计数组合

难度评级：2360

小提示：

两条有共同焦点的抛物线通常交于 $2$ 点；例外是准线平行且焦点不在两准线之间。

Two parabolas sharing a focus meet in $2$ points unless their directrices are parallel with the focus not between them

大提示：

从所有 $\binom{30}{2}$ 对中减去不相交的对：斜率相同且 $y$ -截距同号。

From all $\binom{30}{2}$ pairs, subtract the non-intersecting ones: equal slope and same-sign $y$ -intercepts

解答：

两条共同焦点为 $O$ 的抛物线恰有 $2$ 个交点，除非它们的准线平行且 $O$ 在两准线之间的带状区域外，此时不相交。不相交的对具有相同斜率，且 $y$ -截距同号。共有 $5$ 个斜率；对每个斜率，同号截距对有 $2\binom{3}{2} = 6$ 对。每个相交对贡献 $2$ 个点，且没有三条共点，所以总数为 $2\left(\binom{30}{2} - 5\cdot 6\right)$ $= 2(435 - 30)$ $= 810$ 。所以正确答案是 C。

Two parabolas with common focus $O$ meet in exactly $2$ points, except when their directrices are parallel and $O$ lies outside the strip between them, in which case they do not meet. The non-intersecting pairs have directrices of equal slope and $y$ -intercepts of the same sign. There are $5$ slopes, and for each, $2\binom{3}{2} = 6$ same-sign intercept pairs. Since every intersecting pair meets in $2$ points and no point lies on three parabolas, the total is $2\left(\binom{30}{2} - 5\cdot 6\right)$ $= 2(435 - 30)$ $= 810.$ Thus, the correct answer is C.

22.

设 $m \gt 1$ 和 $n \gt 1$ 为整数。假设下列方程关于 $x$ 的所有解的乘积

$\begin{aligned} &8(\log_n x)(\log_m x) - 7\log_n x \\ &\quad {}- 6\log_m x - 2013 = 0 \end{aligned}$

是尽可能小的整数。求 $m + n$ 。

Let $m \gt 1$ and $n \gt 1$ be integers. Suppose that the product of the solutions for $x$ of the equation

$\begin{aligned} &8(\log_n x)(\log_m x) - 7\log_n x \\ &\quad {}- 6\log_m x - 2013 = 0 \end{aligned}$

is the smallest possible integer. What is $m + n?$

$12$

$20$

$24$

$48$

$272$

答案：A

知识点：对数韦达定理模运算

难度评级：2400

小提示：

用 $\log_n x = \dfrac{\log x}{\log n}$ ，把方程化为关于 $\log x$ 的二次方程。

Use $\log_n x = \dfrac{\log x}{\log n}$ to turn the equation into a quadratic in $\log x$

大提示：

根的乘积满足 $\log(x_1 x_2)$ $= \tfrac18(7\log m + 6\log n)$ ，所以 $(x_1 x_2)^8 = m^7 n^6$ ；再使这个整数最小。

The product of the roots satisfies $\log(x_1 x_2)$ $= \tfrac18(7\log m + 6\log n),$ so $(x_1 x_2)^8 = m^7 n^6;$ minimize this integer

解答：

写作 $\log_n x = \tfrac{\log x}{\log n}$ 和 $\log_m x = \tfrac{\log x}{\log m}$ ，方程成为关于 $\log x$ 的二次方程，其两根之和为 $\log(x_1 x_2)$ $= \tfrac18(7\log m + 6\log n)$ 。于是 $N^8=m^7n^6$ ，其中 $N=x_1x_2$ 。对每个整除 $mn$ 的质数，设它在 $m,n$ 中的指数分别为 $a,b$ 。那么 $7a+6b\equiv0\pmod8$ 。 $a$ 为奇数是不可能的。若 $a=0$ ，则 $b$ 是 $4$ 的倍数，这个质数至少贡献 $p^3$ ，但这时还必须有另一个质数整除 $m$ 。若 $a\equiv0\pmod8$ 且为正，则它对 $N$ 的贡献至少是 $p^7$ ；若 $a\equiv2\pmod8$ ，则 $b\equiv3\pmod4$ ，此时最小的贡献是 $p^4$ 。其余任何正偶数 $a$ 的贡献都更大。因此最小值只在 $p=2$ 且 $(a,b)=(2,3)$ 时取到，此时 $N=16$ 、 $m=4$ 、 $n=8$ 。从而 $m+n=12$ 。所以正确答案是 A。

Writing $\log_n x = \tfrac{\log x}{\log n}$ and $\log_m x = \tfrac{\log x}{\log m},$ the equation becomes a quadratic in $\log x$ whose roots sum to $\log(x_1 x_2)$ $= \tfrac18(7\log m + 6\log n).$ Hence $N^8=m^7n^6,$ where $N=x_1x_2.$ For each prime dividing $mn,$ let its exponents in $m,n$ be $a,b.$ Then $7a+6b\equiv0\pmod8.$ An odd $a$ is impossible. If $a=0,$ then $b$ is a multiple of $4$ and this prime contributes at least $p^3,$ but some other prime must divide $m.$ If $a\equiv0\pmod8$ is positive, its contribution to $N$ is at least $p^7;$ if $a\equiv2\pmod8,$ then $b\equiv3\pmod4$ and the least contribution is $p^4.$ Every other positive even $a$ gives more. Thus the minimum uses only $p=2$ with $(a,b)=(2,3),$ giving $N=16,$ $m=4,$ and $n=8.$ So $m+n=12.$ Thus, the correct answer is A.

23.

Bernardo 选择一个三位正整数 $N$ ，并把它以 $5$ 为底和以 $6$ 为底的表示都写在黑板上。后来 LeRoy 看到了 Bernardo 写的两个数。他把这两个表示当作以 $10$ 为底的整数相加，得到整数 $S$ 。例如，若 $N = 749$ ，Bernardo 写下 $10{,}444$ 和 $3{,}245$ ，LeRoy 得到 $S = 13{,}689$ 。有多少个 $N$ 使得 $S$ 最右边两位数字按顺序与 $2N$ 的最右边两位数字相同？

Bernardo chooses a three-digit positive integer $N$ and writes both its base- $5$ and base- $6$ representations on a blackboard. Later LeRoy sees the two numbers Bernardo has written. Treating the two numbers as base- $10$ integers, he adds them to obtain an integer $S.$ For example, if $N = 749,$ Bernardo writes the numbers $10{,}444$ and $3{,}245,$ and LeRoy obtains the sum $S = 13{,}689.$ For how many choices of $N$ are the two rightmost digits of $S,$ in order, the same as those of $2N?$

$5$

$10$

$15$

$20$

$25$

答案：E

知识点：进制模运算分类讨论

难度评级：2510

小提示：

因为 $\mathrm{lcm}(5^2, 6^2, 10^2) = 900$ ，条件只取决于 $N \bmod 900$ ，所以可令 $N$ 从 $0$ 到 $899$ 变化。

Since $\mathrm{lcm}(5^2, 6^2, 10^2) = 900,$ the condition depends only on $N \bmod 900,$ so let $N$ range from $0$ to $899$

大提示：

匹配个位会迫使 $5$ 进制和 $6$ 进制的个位数字相等；再模 $100$ 处理可确定允许的末两位数字对。

Matching last digits forces the base- $5$ and base- $6$ units digits equal; working modulo $100$ pins down the allowed last-two-digit pairs

解答：

因为 $\mathrm{lcm}(25, 36, 100) = 900$ ，关于 $N$ 的条件只取决于 $N \bmod 900$ ，所以考虑 $0 \le N \le 899$ 。设以 $5$ 为底的表示的末两位为 $a_1, a_0$ ，以 $6$ 为底的表示的末两位为 $b_1,b_0$ 。模 $10$ 时，所要求的相等以及 $N\equiv a_0\pmod5$ 迫使 $a_0=b_0$ 。再对模 $25$ 和 $36$ 应用中国剩余定理，得到 $\begin{aligned} N&\equiv180a_1+150b_1 \\ &\quad {}+a_0\pmod{900} \end{aligned}\text{。}$ 把这个余数的两倍模 $100$ 与十进制数 $10(a_1+b_1)+a_0+b_0$ 比较，可化简为 $5a_1\equiv b_1\pmod{10}$ 。因此有效的数对恰好是 $(0,0),(2,0),(4,0),(1,5),(3,5)$ 。每一对都可与 $5$ 种 $a_0$ 的取法 $(0 \le a_0 \le 4)$ 结合，共给出 $25$ 个 $N$ 。所以正确答案是 E。

Because $\mathrm{lcm}(25, 36, 100) = 900,$ the condition on $N$ depends only on $N \bmod 900,$ so consider $0 \le N \le 899.$ Let the last two base- $5$ digits be $a_1, a_0$ and the last two base- $6$ digits be $b_1,b_0.$ Modulo $10,$ the desired equality and $N\equiv a_0\pmod5$ force $a_0=b_0.$ The Chinese Remainder Theorem applied modulo $25$ and $36$ then gives $\begin{aligned} N&\equiv180a_1+150b_1 \\ &\quad {}+a_0\pmod{900}. \end{aligned}$ Comparing twice this residue modulo $100$ with the decimal number $10(a_1+b_1)+a_0+b_0$ reduces to $5a_1\equiv b_1\pmod{10}.$ Hence the valid pairs are exactly $(0,0),(2,0),(4,0),(1,5),(3,5).$ Each combines with $5$ choices of $a_0$ $(0 \le a_0 \le 4),$ giving $25$ values of $N.$ Thus, the correct answer is E.

24.

设 $ABC$ 是一个三角形， $M$ 是 $AC$ 的中点， $CN$ 是 $\angle ACB$ 的角平分线， $N$ 在 $AB$ 上。设 $X$ 是中线 $BM$ 与角平分线 $CN$ 的交点。另外 $\triangle BXN$ 是等边三角形，且 $AC = 2$ 。 $BN^2$ 是多少？

Let $ABC$ be a triangle where $M$ is the midpoint of $AC,$ and $CN$ is the angle bisector of $\angle ACB$ with $N$ on $AB.$ Let $X$ be the intersection of the median $BM$ and the bisector $CN.$ In addition $\triangle BXN$ is equilateral and $AC = 2.$ What is $BN^2?$

$\dfrac{10 - 6\sqrt2}{7}$

$\dfrac{2}{9}$

$\dfrac{5\sqrt2 - 3\sqrt3}{8}$

$\dfrac{\sqrt2}{6}$

$\dfrac{3\sqrt3 - 4}{5}$

答案：A

知识点：角平分线等边三角形余弦定理相似

难度评级：2600

小提示：

令 $\alpha = \angle ACN$ 、 $x = BN$ 。由等边三角形可得 $\angle BXC = \angle CNA = 120^\circ$ 。

Let $\alpha = \angle ACN$ and $x = BN;$ the equilateral triangle gives $\angle BXC = \angle CNA = 120^\circ$

大提示：

由相似三角形可得 $BC = \sqrt2$ 和 $CX = (\sqrt2 + 1)x$ ，再在 $\triangle BCX$ 中应用余弦定理。

Similar triangles yield $BC = \sqrt2$ and $CX = (\sqrt2 + 1)x;$ then apply the Law of Cosines in $\triangle BCX$

解答：

令 $\alpha = \angle ACN = \angle NCB$ 、 $x = BN$ 。由于 $\triangle BXN$ 是等边三角形，所以 $\angle BXC = \angle CNA = 120^\circ$ ，由此得到 $\triangle ABC \sim \triangle BMC$ 和 $\triangle ANC \sim \triangle BXC$ 。由第一组相似关系，并利用 $MC = \tfrac12 AC = 1$ ，可得 $\dfrac{BC}{2} = \dfrac{MC}{BC}$ ，所以 $BC = \sqrt2$ 。由第二组相似关系可得 $CX = (\sqrt2 + 1)x$ 。在 $\triangle BCX$ 中，对 $\angle BXC = 120^\circ$ 应用余弦定理，得到 $2 = x^2$ $+ (\sqrt2 + 1)^2 x^2$ $+ (\sqrt2 + 1)x^2$ $= (5 + 3\sqrt2)x^2$ 。因此 $BN^2 = x^2$ $= \dfrac{2}{5 + 3\sqrt2}$ $= \dfrac{10 - 6\sqrt2}{7}$ 。所以正确答案是 A。

Let $\alpha = \angle ACN = \angle NCB$ and $x = BN.$ Since $\triangle BXN$ is equilateral, $\angle BXC = \angle CNA = 120^\circ,$ which gives $\triangle ABC \sim \triangle BMC$ and $\triangle ANC \sim \triangle BXC.$ From the first, with $MC = \tfrac12 AC = 1,$ we get $\dfrac{BC}{2} = \dfrac{MC}{BC},$ so $BC = \sqrt2.$ From the second, $CX = (\sqrt2 + 1)x.$ The Law of Cosines in $\triangle BCX$ with $\angle BXC = 120^\circ$ gives $2 = x^2$ $+ (\sqrt2 + 1)^2 x^2$ $+ (\sqrt2 + 1)x^2$ $= (5 + 3\sqrt2)x^2.$ Hence $BN^2 = x^2$ $= \dfrac{2}{5 + 3\sqrt2}$ $= \dfrac{10 - 6\sqrt2}{7}.$ Thus, the correct answer is A.

25.

设 $G$ 是所有如下形式多项式的集合：

$\begin{aligned} &P(z) = z^n + c_{n-1}z^{n-1} + \cdots \\ &\quad {}+ c_2 z^2 + c_1 z + 50 \end{aligned}\text{，}$

其中 $c_1$ ， $c_2$ ， $\ldots$ ， $c_{n-1}$ 是整数，并且 $P(z)$ 有 $n$ 个互不相同的根，每个根形如 $a + ib$ ，其中 $a$ 、 $b$ 为整数。集合 $G$ 中有多少个多项式？

Let $G$ be the set of polynomials of the form

$\begin{aligned} &P(z) = z^n + c_{n-1}z^{n-1} + \cdots \\ &\quad {}+ c_2 z^2 + c_1 z + 50, \end{aligned}$

where $c_1,$ $c_2,$ $\ldots,$ $c_{n-1}$ are integers and $P(z)$ has $n$ distinct roots of the form $a + ib$ with $a$ and $b$ integers. How many polynomials are in $G?$

$288$

$528$

$576$

$992$

$1056$

答案：B

知识点：多项式复数因数个数分类讨论

难度评级：2720

小提示：

实系数使非实根成共轭对，所以 $P(z)$ 可分解为线性因子 $(z - c)$ 和二次因子 $z^2 - 2az + (a^2 + b^2)$ ，且每个因子的常数项都整除 $50$ 。

Real coefficients pair nonreal roots as conjugates, so $P(z)$ factors into linear $(z - c)$ and quadratic $z^2 - 2az + (a^2 + b^2)$ pieces, each with constant term dividing $50$

大提示：

对 $50$ 的每个因数 $d$ ，数出大小为 $d$ 的基本因子，包括 $a^2 + b^2 = d$ 的解以及 $z \pm d$ ，再使所选因子的常数项乘积为 $50$ 。

For each divisor $d$ of $50,$ count the basic factors of magnitude $d$ (solutions of $a^2 + b^2 = d,$ plus $z \pm d$ ), then multiply choices so the constant terms multiply to $50$

解答：

因为系数为实数，非实根成共轭对，所以 $P(z)$ 可分解为互不相同的线性因子 $(z - c)$ （其中 $c \in \mathbb{Z}$ ）以及二次因子 $(z - (a+ib))(z - (a-ib))$ $= z^2 - 2az + (a^2 + b^2)$ 。每个因子的常数项都整除 $50$ 。对 $d=1,2,5,10,25,50$ ，满足 $a^2+b^2=d$ 且 $b\ne0$ 的共轭对个数依次为 $1,2,4,4,5,6$ 。再加上两个线性选择 $z-d,z+d$ ，就得到 $|B_1|=3$ 、 $|B_2|=4$ 、 $|B_5|=6$ 、 $|B_{10}|=6$ 、 $|B_{25}|=7$ 和 $|B_{50}|=8$ 。把 $50$ 分解成若干个大于 $1$ 的因子大小之积，方式有 $50,25\cdot2,10\cdot5$ 和 $5\cdot5\cdot2$ 。在最后一种方式中，各根互不相同要求选取两个不同的 $B_5$ 因子。最后，再计入 $z+1$ 和 $z^2+1$ 可以自由出现（而 $z-1$ 是否出现由其余因子乘积的符号决定），总数为 $\begin{aligned} &2^2\left(8 + 7\cdot 4 + 6\cdot 6 + 4\binom{6}{2}\right) \\ &\quad = 4(8 + 28 + 36 + 60) = 528 \end{aligned}\text{。}$ 所以正确答案是 B。

Since the coefficients are real, nonreal roots occur in conjugate pairs, so $P(z)$ factors into distinct linear factors $(z - c)$ with $c \in \mathbb{Z}$ and quadratics $(z - (a+ib))(z - (a-ib))$ $= z^2 - 2az + (a^2 + b^2).$ Each factor’s constant term divides $50.$ For $d=1,2,5,10,25,50,$ the numbers of conjugate pairs with $a^2+b^2=d$ and $b\ne0$ are $1,2,4,4,5,6,$ respectively. Adding the two linear choices $z-d,z+d$ gives $|B_1|=3,$ $|B_2|=4,$ $|B_5|=6,$ $|B_{10}|=6,$ $|B_{25}|=7,$ and $|B_{50}|=8.$ The factor-magnitude partitions of $50$ using values greater than $1$ are $50,25\cdot2,10\cdot5,$ and $5\cdot5\cdot2.$ Distinct roots require choosing two different $B_5$ factors in the last case. Finally, account for the free presence of $z+1$ and $z^2+1$ (with $z-1$ forced by the sign of the remaining product), gives $\begin{aligned} &2^2\left(8 + 7\cdot 4 + 6\cdot 6 + 4\binom{6}{2}\right) \\ &\quad = 4(8 + 28 + 36 + 60) = 528. \end{aligned}$ Thus, the correct answer is B.