Question

数字 $2013$ 被表示为

$2013 = \frac{a_1!\,a_2!\cdots a_m!}{b_1!\,b_2!\cdots b_n!}\text{，}$

其中 $a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_m$ 和 $b_1 \ge b_2 \ge \cdots \ge b_n$ 都是正整数，且 $a_1 + b_1$ 尽可能小。求 $|a_1 - b_1|\,$ ？

The number $2013$ is expressed in the form

$2013 = \frac{a_1!\,a_2!\cdots a_m!}{b_1!\,b_2!\cdots b_n!},$

where $a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_m$ and $b_1 \ge b_2 \ge \cdots \ge b_n$ are positive integers and $a_1 + b_1$ is as small as possible. What is $|a_1 - b_1|\,?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

答案：B

知识点：质因数分解阶乘极限情形界定

难度评级：1840

小提示：

分解 $2013 = 3\cdot 11\cdot 61$ ，其最大质因数为 $61$ 。

Factor $2013 = 3\cdot 11\cdot 61;$ its largest prime is $61$

大提示：

某个 $a_i!$ 必须至少达到 $61$ ，所以 $a_1 \ge 61$ 。但 $61!$ 还含有质因数 $59$ ，必须在分母中约去。

Some $a_i!$ must reach $61,$ so $a_1 \ge 61;$ but $61!$ also contains the prime $59,$ which must be cancelled from the denominator

解答：

因为 $2013 = 3\cdot 11\cdot 61$ ，分子中至少需要一个 $61!$ 来提供质因数 $61$ ，所以 $a_1 \ge 61$ 。但是 $61!$ 还含有 $2013$ 所不含的质因数 $59$ ，所以分母中必须有 $b_1 \ge 59$ 。因此 $a_1 + b_1 \ge 120$ 。取 $a_1 = 61$ 、 $b_1 = 59$ ，并使用 $2013 = \dfrac{61!\,11!\,3!}{59!\,10!\,5!}$ ，可以达到这个下界。于是 $|a_1 - b_1| = 2$ 。所以正确答案是 B。

Since $2013 = 3\cdot 11\cdot 61,$ the numerator needs a factorial at least $61!$ to supply the prime $61,$ so $a_1 \ge 61.$ But $61!$ also has a factor of $59,$ which $2013$ does not, so the denominator needs $b_1 \ge 59.$ Thus $a_1 + b_1 \ge 120,$ attained by $a_1 = 61,$ $b_1 = 59$ via $2013 = \dfrac{61!\,11!\,3!}{59!\,10!\,5!}.$ Then $|a_1 - b_1| = 2.$ Thus, the correct answer is B.

2013 AMC 12B 第 15 题

答案：B

难度评级：1840

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 15 题