Question

坐标平面中一个三角形的顶点为 $A(\log_2 1, \log_2 2)$ ， $B(\log_2 3, \log_2 4)$ ，和 $C(\log_2 7, \log_2 8)$ 。 $\triangle ABC$ 的面积是多少？

A triangle in the coordinate plane has vertices $A(\log_2 1, \log_2 2),$ $B(\log_2 3, \log_2 4),$ and $C(\log_2 7, \log_2 8).$ What is the area of $\triangle ABC?$

$\log_2 \dfrac{\sqrt3}{7}$

$\log_2 \dfrac{3}{\sqrt7}$

$\log_2 \dfrac{7}{\sqrt3}$

$\log_2 \dfrac{11}{\sqrt7}$

$\log_2 \dfrac{11}{\sqrt3}$

答案：B

知识点：鞋带公式对数三角形面积

难度评级：1800

小提示：

顶点为 $(0, 1)$ 、 $(\log_2 3, 2)$ 和 $(\log_2 7, 3)$ 。

The vertices are $(0, 1),$ $(\log_2 3, 2),$ and $(\log_2 7, 3)$

大提示：

使用鞋带公式，并用 $2\log_2 3 - \log_2 7 = \log_2 \dfrac{9}{7}$ 化简，再把对数减半。

Apply the shoelace formula and simplify with $2\log_2 3 - \log_2 7 = \log_2 \dfrac{9}{7},$ then halve the logarithm

解答：

顶点为 $A = (0, 1)$ 、 $B = (\log_2 3, 2)$ 、 $C = (\log_2 7, 3)$ 。由鞋带公式， $\begin{gathered} [\triangle ABC]\\ {}=\tfrac12\,\bigl|2\log_2 3-\log_2 7\bigr| \end{gathered}\text{。}$

该式等于 $\tfrac12\log_2 \dfrac{9}{7} = \log_2 \sqrt{\tfrac{9}{7}} = \log_2 \dfrac{3}{\sqrt7}$ 。

所以正确答案是 B。

The vertices are $A = (0, 1),$ $B = (\log_2 3, 2),$ $C = (\log_2 7, 3).$ By the shoelace formula, $\begin{gathered} [\triangle ABC]\\ {}=\tfrac12\,\bigl|2\log_2 3-\log_2 7\bigr|. \end{gathered}$

This equals $\tfrac12\log_2 \dfrac{9}{7} = \log_2 \sqrt{\tfrac{9}{7}} = \log_2 \dfrac{3}{\sqrt7}.$

Thus, the correct answer is B.

2024 AMC 12B 第 15 题

答案：B

难度评级：1800

小提示：

大提示：

解答：

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