1987 AMC 12 第 15 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1987 AMC 12 第 15 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

15.

若 $(x,y)$ 是方程组 $\begin{aligned} xy&=6,\\ x^2y+xy^2+x+y&=63 \end{aligned}$ 的一个解，求 $x^2+y^2$ 。

If $(x,y)$ is a solution to the system $\begin{aligned} xy&=6,\\ x^2y+xy^2+x+y&=63, \end{aligned}$ find $x^2+y^2.$

$13$

$\frac{1173}{32}$

$55$

$69$

$81$

答案：D

知识点：symmetric expressions 因式分解方程组

难度评级：1470

小提示：

利用 $x+y$ 分解第二个方程的左边

Factor the second equation using $x+y$

大提示：

使用 $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$

Use $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$

解答：

第二个方程可化为 $\begin{aligned} xy(x+y)&+(x+y)\\ &=(xy+1)(x+y)\\ &=63 \end{aligned}\text{。}$ 由于 $xy=6$ ，得到 $x+y=9$ 。因此 $\begin{aligned} x^2+y^2 &=(x+y)^2-2xy\\ &=81-12=69 \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 D。

The second equation becomes $\begin{aligned} xy(x+y)&+(x+y)\\ &=(xy+1)(x+y)\\ &=63. \end{aligned}$ Since $xy=6,$ we get $x+y=9.$ Therefore $\begin{aligned} x^2+y^2 &=(x+y)^2-2xy\\ &=81-12=69. \end{aligned}$

Thus the correct answer is D.

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