Question

若 $\sin x+\cos x=\frac15$ ，且 $0\le x\lt\pi$ ，则 $\tan x$ 为

If $\sin x+\cos x=\frac15$ and $0\le x\lt\pi,$ then $\tan x$ is

$-\frac43$

$-\frac34$

$\frac34$

$\frac43$

由已知信息无法完全确定

not completely determined by the given information

答案：A

知识点：三角恒等式二次方程分类讨论

难度评级：1650

小提示：

将已知方程两边平方，以求出 $\sin x\cos x$

Square the given equation to determine $\sin x\cos x$

大提示：

将 $\sin x$ 和 $\cos x$ 视为一个二次方程的两根，再利用 $0\le x\lt\pi$

Treat $\sin x$ and $\cos x$ as roots of a quadratic, then use $0\le x\lt\pi$

解答：

两边平方得到 $1+2\sin x\cos x=\frac{1}{25}$ ，所以 $\sin x\cos x=-\frac{12}{25}$ 。因此 $\sin x$ 和 $\cos x$ 是下面这个方程的两根： $t^2-\frac15t-\frac{12}{25}=0\text{，}$ 即 $\frac{4}{5}$ 和 $-\frac{3}{5}$ 。在给定区间内 $\sin x\ge0$ ，故 $\sin x=\frac{4}{5}$ ， $\cos x=-\frac{3}{5}$ 。于是 $\tan x=-\frac{4}{3}$ 。

因此，正确答案是 A。

Squaring gives $1+2\sin x\cos x=\frac{1}{25},$ so $\sin x\cos x=-\frac{12}{25}.$ Thus $\sin x$ and $\cos x$ are the roots of $t^2-\frac15t-\frac{12}{25}=0,$ namely $\frac{4}{5}$ and $-\frac{3}{5}.$ Because $\sin x\ge0$ on the given interval, $\sin x=\frac{4}{5}$ and $\cos x=-\frac{3}{5}.$ Hence $\tan x=-\frac{4}{3}.$

Therefore, the correct answer is A.

1978 AMC 12 第 15 题

答案：A

难度评级：1650

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 15 题