Question

当 $p = \sum_{k=1}^{6} k \ln k$ 时，数 $e^p$ 是一个整数。作为 $e^p$ 的因数的最大 $2$ 的幂是多少？

When $p = \sum_{k=1}^{6} k \ln k,$ the number $e^p$ is an integer. What is the largest power of $2$ that is a factor of $e^p?$

$2^{12}$

$2^{14}$

$2^{16}$

$2^{18}$

$2^{20}$

答案：C

知识点：对数质因数分解

难度评级：1950

小提示：

$k \ln k = \ln(k^k)$ ，所以 $e^p = \prod_{k=1}^{6} k^k$ 。

$k \ln k = \ln(k^k),$ so $e^p = \prod_{k=1}^{6} k^k$

大提示：

只有 $2^2$ ， $4^4$ ，和 $6^6$ 会贡献因子 $2$ 。

Only $2^2,$ $4^4,$ and $6^6$ contribute factors of $2$

解答：

因为 $k \ln k = \ln(k^k)$ ，这个和给出 $p = \ln\left(\prod_{k=1}^{6} k^k\right)$ ，所以 $e^p = 1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3 \cdot 4^4 \cdot 5^5 \cdot 6^6\text{。}$

因子 $2$ 来自 $2^2$ （贡献 $2$ ）， $4^4 = 2^8$ （贡献 $8$ ），以及 $6^6 = 2^6 \cdot 3^6$ （贡献 $6$ ）。因此 $2$ 的指数总共为 $2 + 8 + 6 = 16$ 。

所以正确答案是 C。

Since $k \ln k = \ln(k^k),$ the sum gives $p = \ln\left(\prod_{k=1}^{6} k^k\right),$ so $e^p = 1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3 \cdot 4^4 \cdot 5^5 \cdot 6^6.$

The factors of $2$ come from $2^2$ (giving $2$ ), $4^4 = 2^8$ (giving $8$ ), and $6^6 = 2^6 \cdot 3^6$ (giving $6$ ). In total the exponent of $2$ is $2 + 8 + 6 = 16.$

Thus, the correct answer is C.

2014 AMC 12B 第 15 题

答案：C

难度评级：1950

小提示：

大提示：

解答：

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