Question

有多少个 $n$ 属于 $\{1,2,3,\ldots,100\}$ ，且 $n^2$ 的十位数字是奇数？

For how many $n$ in $\{1,2,3,\ldots,100\}$ is the tens digit of $n^2$ odd?

$10$

$20$

$30$

$40$

$50$

答案：B

知识点：squares modulo 100 decimal digits

难度评级：1750

小提示：

$n^2$ 的十位数字的奇偶性只取决于 $n$ 的个位数字

The parity of the tens digit of $n^2$ depends only on the units digit of $n$

大提示：

检查十种可能的个位数字的平方

Check the squares of the ten possible units digits

解答：

写成 $n=10a+b$ 。模 $100$ 意义下， $n^2\equiv20ab+b^2\text{。}$ 项 $20ab$ 使十位数字改变一个偶数，所以只需考虑 $b^2$ 的十位数字。在 $b=0,1,\ldots,9$ 中，只有 $b=4$ 和 $b=6$ 时该数字为奇数。从 $1$ 到 $100$ 中，每种个位数字都出现 $10$ 次，所以共有 $2\cdot10=20$ 个。因此正确答案是 B。

Write $n=10a+b.$ Modulo $100,$ $n^2\equiv20ab+b^2.$ The term $20ab$ changes the tens digit by an even amount, so only the tens digit of $b^2$ matters. Among $b=0,1,\ldots,9,$ it is odd only for $b=4$ and $b=6.$ Each units digit occurs $10$ times from $1$ through $100,$ giving $2\cdot10=20.$ Thus the correct answer is B.

1994 AMC 12 第 15 题

答案：B

难度评级：1750

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 15 题