Question

¿Para cuántos valores de $n$ en $\{1,2,3,\ldots,100\}$ es impar la cifra de las decenas de $n^2$ ?

For how many $n$ in $\{1,2,3,\ldots,100\}$ is the tens digit of $n^2$ odd?

$10$

$20$

$30$

$40$

$50$

Respuesta: B

Conceptos:squares modulo 100 decimal digits

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

La paridad de la cifra de las decenas de $n^2$ depende solo de la cifra de las unidades de $n$

The parity of the tens digit of $n^2$ depends only on the units digit of $n$

Pista grande:

Examina los cuadrados de las diez cifras posibles de las unidades

Check the squares of the ten possible units digits

Solución:

Escribe $n=10a+b.$ Módulo $100,$ $n^2\equiv20ab+b^2.$ El término $20ab$ cambia la cifra de las decenas en una cantidad par, así que solo importa la cifra de las decenas de $b^2$ . Entre $b=0,1,\ldots,9,$ esta es impar únicamente para $b=4$ y $b=6.$ Cada cifra de las unidades aparece $10$ veces de $1$ a $100,$ lo que da $2\cdot10=20.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Write $n=10a+b.$ Modulo $100,$ $n^2\equiv20ab+b^2.$ The term $20ab$ changes the tens digit by an even amount, so only the tens digit of $b^2$ matters. Among $b=0,1,\ldots,9,$ it is odd only for $b=4$ and $b=6.$ Each units digit occurs $10$ times from $1$ through $100,$ giving $2\cdot10=20.$ Thus the correct answer is B.

1994 AMC 12 Problema 15

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años